📊 期望与方差 - 最重要的度量
当我们有一个随机变量时,我们想知道两件事:期望的平均值是多少?以及这些值有多分散?
🎯 期望 E(X) - "加权平均"
公式
\(E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)\)
每个值乘以其概率,然后求和
🔢 详细示例
随机变量 X 以概率 0.2、0.5、0.3 取值 1、2、3:
E(X) = 1 × 0.2 + 2 × 0.5 + 3 × 0.3
E(X) = 0.2 + 1.0 + 0.9
E(X) = 2.1
E(X) = 0.2 + 1.0 + 0.9
E(X) = 2.1
📏 方差 Var(X)
公式
\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)
平方的期望减去期望的平方
⚡ 变换的重要规则
| 若 Y = aX + b | 期望 | 方差 |
|---|---|---|
| 公式 | E(Y) = a·E(X) + b | Var(Y) = a²·Var(X) |
| 示例 Y = 2X + 3, E(X)=5, Var(X)=4 | E(Y) = 2×5 + 3 = 13 | Var(Y) = 4×4 = 16 |
⚠️ 常见错误!
方差不受常数 b 影响!添加常数会将所有数据一起平移 - 离散程度不变。
方差不受常数 b 影响!添加常数会将所有数据一起平移 - 离散程度不变。