抛物线 \(y^2 = 2px\) 的切线

本页将学习如何求形如 \( y^2 = 2px \) 的抛物线的切线方程,适用于已知抛物线上某点或已知切线斜率的情形。

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抛物线:

\(y^2 = 2px\)

这是一条向右开口的抛物线。顶点为 \( (0,0) \),焦点为 \( \left(\frac{p}{2},0\right) \)。

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1. 已知点求抛物线的切线

若点 \( A(x_0 , y_0) \) 在抛物线上,即满足:

 \(y_0^2 = 2p x_0\)

则该点处的切线方程为:

\[ y y_0 = p(x + x_0) \]

这是最常用、最快速的算法。

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2. 已知斜率求切线

若所求斜率为 \( m \),我们利用一个关键性质:函数的切线必须与该函数恰好交于一点。

写出一般切线方程:

\[ y = mx + b \]

要求其与抛物线相交所得方程具有重根:

\[ (mx + b)^2 = 2px \]

展开、合并同类项,并要求判别式 = 0。

解得:

\[ b = \frac{p}{m} \]

因此切线为:

\[ y = mx + \frac{p}{m} \]

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3. 由切线方程反求切点

过点 \( (x_0 , y_0) \) 的切线为:

\[ yy_0 = p(x + x_0) \]

若已知切线方程,可与一般形式比较,从而求出 \( x_0 , y_0 \)。

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4. 完整例题

求抛物线上点 \( A(2p, 2\sqrt{p}) \) 处的切线。

验证该点在抛物线上:

\[ (2\sqrt{p})^2 = 4p = 2p(2) \quad \checkmark \]

使用公式:

\[ yy_0 = p(x + x_0) \]

代入:

\[ y(2\sqrt{p}) = p(x + 2p) \]

切线方程:

\[ y = \frac{p}{2\sqrt{p}}x + p\sqrt{p} \]

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5. 重要结论

• 形如 \( y^2 = 2px\)) 的抛物线具有简洁优雅的切线公式。

• 切点公式可不经求导直接得出切线。

• 斜率公式可在不知切点时求得切线。

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