单位圆上的三角学
第 10 部分:引言与动机
❓ 问题:超过 90° 怎么办?
到目前为止:我们只为锐角(0° 至 90°)定义了 sin、cos、tan
这在直角三角形中是可行的,因为那里的锐角永远小于 90°。
但下面这些呢:
- sin(120°) = ?
- cos(180°) = ?
- sin(300°) = ?
- cos(-45°) = ?
无法构造出一个内含 120° 角的直角三角形!
💡 解决方案:单位圆
不再用三角形,改用圆!
圆能表示任何角 —— 大于 90° 的、负的、甚至大于 360° 的
🎯 为何选半径为 1 的圆?
当半径 = 1 时:
sin(α) = 对边 / 斜边 = 对边 / 1 = 对边
cos(α) = 邻边 / 斜边 = 邻边 / 1 = 邻边
正弦与余弦就是点的坐标!
sin = y,cos = x
✨ 新定义的优势
| 优势 | 说明 |
|---|---|
| 任意角 | 可对任何角计算 sin、cos |
| 负角 | 沿顺时针方向旋转 |
| 大于 360° 的角 | 超过一整圈 |
| 周期性 | 可以看到函数的周期性 |
| sin²+cos²=1 | 直接由圆方程得出! |
🔗 与旧定义的联系
对锐角(0° 至 90°)—— 两种定义给出相同的结果!
新定义是对旧定义的扩展,并非替换。
📝 第 10 部分小结
三角形中的定义只限于锐角
单位圆使得我们能对任意角进行定义
r = 1 → 坐标就是 sin 与 cos