方程 sin(x) = m 有解当且仅当 -1 ≤ m ≤ 1

例子:

sin(x) = 0.5 ← 有解 ✓

sin(x) = 2 ← 无解 ✗

若 sin(α) = m 且 α₀ 是一个解(基本解),则:

α = α₀ + 2πn

或

α = (π - α₀) + 2πn

(其中 n ∈ ℤ,为整数)

💡 为什么有两组解?

因为正弦在每个周期内于两个点取相同的值(单位圆上关于 y 轴对称)

第 1 步:检查条件

是否 -1 ≤ m ≤ 1?

第 2 步:找出基本解

α₀ = arcsin(m) 或已知角度

第 3 步:写出通解

ax + b = α₀ + 2πn 或 ax + b = (π - α₀) + 2πn

第 4 步:解出 x

从每个方程中解出 x

求解:sin(2x) = ½

解答:

1. 条件:½ ∈ [-1,1] ✓

2. 基本解:sin(π/6) = ½,所以 α₀ = π/6

3. 通解:

2x = π/6 + 2πn → x = π/12 + πn

2x = π - π/6 + 2πn = 5π/6 + 2πn → x = 5π/12 + πn