三角方程
第 19 部分:求解方程 tan(ax+b) = m
✅ 好消息!
方程 tan(x) = m 总是有解!
(对任意实数 m)
💡 为什么?
因为正切的值域是全体实数:(-∞, ∞)
⭐ 通解公式
α = α₀ + πn
(其中 n ∈ ℤ)
💡 请注意:
- 只有一个解(没有 ±)
- 周期为 π(不是 2π)
- 比 sin 和 cos 更简单!
🔄 比较
| 函数 | 解 | 周期 |
|---|---|---|
| sin | α₀ + 2πn 或 (π-α₀) + 2πn | 2π |
| cos | ±α₀ + 2πn | 2π |
| tan | α₀ + πn | π |
✏️ 例题
求解:tan(3x) = 1
解答:
1. 基本解:tan(π/4) = 1,所以 α₀ = π/4
2. 通解:
3x = π/4 + πn
x = π/12 + πn/3
📝 第 19 部分小结
tan(α) = m → 总是有解!
α = α₀ + πn
最简单的形式:一个解,周期 π