三角方程
第 20 部分:复杂方程
📋 复杂方程的类型
- 二次方程 —— sin²x、cos²x
- 提取公因式的方程
- 包含多个函数的方程 —— sin 和 cos 同时出现
📐 二次方程
方法:代换 t = sin(x) 或 t = cos(x)
解关于 t 的二次方程
再代回 x
✏️ 例题:2sin²x - 3sin(x) + 1 = 0
解答:
代换 t = sin(x):
2t² - 3t + 1 = 0
(2t - 1)(t - 1) = 0
t = ½ 或 t = 1
所以:
sin(x) = ½ → x = π/6 + 2πn 或 x = 5π/6 + 2πn
sin(x) = 1 → x = π/2 + 2πn
🔢 提取公因式
⚠️ 重要:不要除以三角函数!
取而代之 —— 提取公因式
✏️ 例题:sin(x)·cos(x) = sin(x)
正确解法:
sin(x)·cos(x) - sin(x) = 0
sin(x)·(cos(x) - 1) = 0
所以:
sin(x) = 0 → x = πn
cos(x) = 1 → x = 2πn
❌ 常见错误:
两边同除以 sin(x),只得到 cos(x) = 1
这会丢失解!
🔄 使用恒等式 sin²x + cos²x = 1
✏️ 例题:sin²x + 2cos(x) = 2
解答:
利用 sin²x = 1 - cos²x:
(1 - cos²x) + 2cos(x) = 2
-cos²x + 2cos(x) - 1 = 0
cos²x - 2cos(x) + 1 = 0
(cos(x) - 1)² = 0
cos(x) = 1
x = 2πn
💡 重要技巧
- 尽量化为单一函数(sin 或 cos)
- 利用恒等式 sin²x + cos²x = 1 进行转换
- 不要除以函数 —— 提取公因式
- 检查解是否在定义域内
- 记住:sin、cos ∈ [-1, 1]
📝 第 20 部分小结
二次:代换 t = sin/cos,求解,再代回
公因式:提取,不要除!
恒等式:用 sin² + cos² = 1 转换