a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

💡 用语言表述:任意三角形中,每条边与其对角正弦的比值都相等!

利用面积公式:

S = ½ab·sin(C) = ½bc·sin(A) = ½ac·sin(B)

两边乘以 2 再除以 abc:

2S/abc = sin(C)/c = sin(A)/a = sin(B)/b

取倒数:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) ✓

当已知一条边和它的对角时!

情形 1:已知两角及一边(角.角.边)

→ 先求出第三个角(内角和 = 180°)

→ 再用定理求其他边

情形 2:已知两边及其中一边的对角

→ 求另一条边的对角

⚠️ 注意:可能有 0、1 或 2 个解!

题目:在三角形 ABC 中,A 角 = 30°,B 角 = 45°,c 边 = 10。求 a。

解答:

1. C 角 = 180° - 30° - 45° = 105°

2. 由正弦定理:

a/sin(30°) = c/sin(105°)

a/0.5 = 10/sin(105°)

a = 10 × 0.5 / sin(105°)

a ≈ 5.18

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

其中 R = 三角形外接圆的半径