c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)

📌 用语言表述:

一条边的平方 = 另外两条边的平方之和 减去 这两条边乘积的两倍乘以它们夹角的余弦。

a² = b² + c² - 2bc·cos(A)

b² = a² + c² - 2ac·cos(B)

c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

💡 规则:一条边的平方 = 夹住所对角的两条边的平方之和,减去余弦修正项。

当角 = 90° 时会怎样?

cos(90°) = 0

所以:c² = a² + b² - 2ab·0 = a² + b²

余弦定理是勾股定理的推广!

勾股定理 = 角为 90° 时的特殊情况

情形 1:SA"S(两边和它们的夹角)

已知两条边和它们之间的角

→ 求第三条边

情形 2:SS"S(三边已知)

已知三条边

→ 求任意一个角

💡 提示:如果有一条边和它的对角(而非夹角)→ 用正弦定理

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

💡 说明:这是同一个公式,只是重新整理以分离出 cos(C)

题目:在三角形 ABC 中:a = 5,b = 7,角 C = 60°。求 c。

解答:

c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

c² = 5² + 7² - 2·5·7·cos(60°)

c² = 25 + 49 - 70·(½)

c² = 74 - 35 = 39

c = √39 ≈ 6.24

题目:在三角形 ABC 中:a = 3,b = 5,c = 7。求角 C。

解答:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

cos(C) = (9 + 25 - 49) / (2·3·5)

cos(C) = (34 - 49) / 30 = -15/30 = -½

C = 120°

💡 注意:cos 为负 → 角是钝角(大于 90°)