🔹 1. 空间坐标系与代数表示

➤ 三维坐标系

空间坐标系包含三条相互垂直的坐标轴:

\((x\text{-axis},\; y\text{-axis},\; z\text{-axis})\)

➤ 空间中点的表示

点 \( P(x,y,z) \) 表示起点为原点的向量的终点:

\( \vec{OP} = (x, y, z) \)

➤ 向量的表示

空间中的向量写为:

\( \vec{v} = (a,b,c) \)

➤ 代数运算:

• 加法: \( (a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f) \)
• 减法: \( (a,b,c)-(d,e,f)=(a-d,b-e,c-f) \)
• 标量乘法: \( k(a,b,c)=(ka,kb,kc) \)

➤ 按给定比例分割线段

如果点 \( P \) 分割线段 \( AB \) 的比为 \( \lambda : \mu \),则:

\( P=\frac{\mu A + \lambda B}{\lambda+\mu} \)

➤ 点积:

\( \vec{u}\cdot\vec{v} = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z \)

🔹 2. 直线的参数表示

➤ 空间中的直线

直线由一个点和一个方向向量确定:

\( \vec{r}(t)=\vec{P}+t\vec{v} \)

展开为:

\( (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c) \)

➤ 直线之间的相对位置关系:

• 相交
• 平行
• 异面

两条直线相交当且仅当存在 \( t,s \) 使得: \( \vec{r}_1(t)=\vec{r}_2(s) \)

🔹 3. 平面 – 参数方程与一般方程

➤ 平面的参数表示

如果 A 是平面上的一点,方向向量为 \( \vec{u},\vec{v} \),则:

\( \vec{r}(s,t)=\vec{A}+s\vec{u}+t\vec{v} \)

➤ 平面方程

使用法向量 \( \vec{n}=(A,B,C) \):

\( Ax+By+Cz+D=0 \)

➤ 平面之间以及直线–平面的相对位置关系:

• 平面平行
• 平面垂直
• 直线与平面相交
• 直线与平面平行
• 直线与平面垂直

🔹 4. 空间中的距离

➤ 两点之间的距离:

\( |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} \)

➤ 点到直线的距离:

\( d=\frac{|\vec{AP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|} \)

➤ 点到平面的距离:

\( d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \)

➤ 平行直线之间的距离:

\( d=\frac{|\vec{AP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|} \)

➤ 异面直线之间的距离:

\( d=\frac{|(\vec{P_2}-\vec{P_1})\cdot(\vec{v_1}\times\vec{v_2})|} {|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|} \)

🔹 5. 空间中的角度

➤ 两条直线之间的夹角:

\( \cos\theta =\frac{\vec{v_1}\cdot\vec{v_2}}{|\vec{v_1}||\vec{v_2}|} \)

➤ 平面之间的夹角:

\( \cos\theta =\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} \)

➤ 直线与平面所成的角:

\( \sin\theta =\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|} \)

📌 总结

空间坐标系使得用代数方式清晰地描述向量、直线和平面成为可能。使用点积、叉积、距离和角度,可以最高水平地解决几何问题。