🔹 1. 向量 – 基本概念

向量表示大小和方向。在物理学中:力、速度、位移。在数学中:向量空间中的元素。

向量通常用箭头表示:\( \vec{v} \),\( \overrightarrow{AB} \)。

自由向量 – 没有起点。束缚向量 – 固定在特定位置(例如在空间中)。

🔹 2. 几何向量的定义

向量 \( \overrightarrow{AB} \) 表示从点 A 到点 B 的运动。

向量相等:
两个向量相等,当且仅当它们具有相同的方向和相同的长度:
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \)

零向量:
\( \vec{0} \) — 长度为 0,无方向。

🔹 3. 向量的运算

➤ 向量加法

加法可以用平行四边形法则或"首尾相接"法则定义:
\( \vec{u} + \vec{v} \)

性质:

• \( \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} \)(交换律)
• \( (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) \)(结合律)
• \( \vec{u} + \vec{0} = \vec{u} \)
• \( \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \)

➤ 向量与标量的乘法

对每个标量 \( a \):
\( a\vec{u} \) 是一个具有相同方向的向量,但长度乘以 a。
如果 \( a < 0 \) — 方向反转。

性质:

• \( 1\cdot \vec{u} = \vec{u} \)
• \( 0\cdot \vec{u} = \vec{0} \)
• \( a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v} \)
• \( (a+b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u} \)
• \( (ab)\vec{u} = a(b\vec{u}) \)

➤ 向量减法

\( \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-1)\vec{v} \)

🔹 4. 向量空间的特征

向量空间满足向量空间的所有公理(封闭性、单位元、逆元、结合性)。即对所有向量 \( \vec{u},\vec{v},\vec{w} \) 和所有标量 \( a,b \):

• \( \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} \)
• \( (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) \)
• \( \vec{u} + \vec{0} = \vec{u} \)
• \( \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0} \)
• \( a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v} \)
• \( (a+b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u} \)
• \( (ab)\vec{u} = a(b\vec{u}) \)
• \( 1\cdot \vec{u} = \vec{u} \)

📌 总结

向量是统一的几何代数语言。理解加法、减法和与标量的乘法是力学、解析几何和三维空间所有主题的基础。