代数向量第一部分 - 定义与基本运算

代数向量 - 第一部分

定义、基本运算与三维坐标系中的表示

📐 什么是代数向量?

代数向量是一个有序的数组:

\(\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\)

💡 几何向量与代数向量的区别:

几何向量	代数向量
局限于平面(2D)或空间(3D)	可在任意维度 n
强调方向与长度	强调代数运算
用箭头进行图形表示	表示为数列

例:

平面(2D)中的向量:\(\vec{v} = (3, -2)\)

空间(3D)中的向量:\(\vec{u} = (1, 4, -3)\)

\(\mathbb{R}^4\) 中的向量:\(\vec{w} = (2, 0, -1, 5)\)

🌐 三维坐标系

空间中有三条互相垂直的轴:

x 轴 - 左/右
y 轴 - 前/后
z 轴 - 上/下

⭐ 空间中的标准单位向量:

\(\hat{i} = (1, 0, 0)\)

x 方向

\(\hat{j} = (0, 1, 0)\)

y 方向

\(\hat{k} = (0, 0, 1)\)

z 方向

💡 任意向量表示为单位向量的线性组合:

\(\vec{v} = (a, b, c) = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}\)

例:\((3, -2, 5) = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}\)

🔧 基本运算

对于 \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) 与 \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\):

➕ 加法:

\(\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)\)

➖ 减法:

\(\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3)\)

✖️ 数乘:

\(k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, k \cdot v_2, k \cdot v_3)\)

例:

\((1, 2, 3) + (4, -1, 2) = (5, 1, 5)\)

\((5, 3, -2) - (2, 1, 4) = (3, 2, -6)\)

\(3 \cdot (2, -1, 4) = (6, -3, 12)\)

📏 向量的长度(模)

平面(2D):

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\)

空间(3D):

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\)

一般情况(nD):

\(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}\)

例:

\(|(3, 4)| = \sqrt{9 + 16} = 5\)

\(|(1, 2, 2)| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)

\(|(2, -1, 0, 2)| = \sqrt{4 + 1 + 0 + 4} = 3\)

📐 空间两点之间的距离

\(A(x_1, y_1, z_1)\) 与 \(B(x_2, y_2, z_2)\) 之间的距离:

\(|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)

例:\(A(1, 2, 3)\) 与 \(B(4, 6, 3)\) 之间的距离:

\(|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5\)

1️⃣ 单位向量

沿 \(\vec{v}\) 方向的单位向量:

\(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\)

例:求沿 \(\vec{v} = (1, 2, 2)\) 方向的单位向量:

\(|\vec{v}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3\)

\(\hat{v} = \frac{1}{3}(1, 2, 2) = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\)

⚖️ 相等与平行

向量相等:

\((a, b, c) = (d, e, f) \iff a=d, b=e, c=f\)

向量平行:

\(\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} = k \cdot \vec{v}\) 对某个标量 k

例:\((2, 4, -6)\) 与 \((1, 2, -3)\) 是否平行?

\((2, 4, -6) = 2 \cdot (1, 2, -3)\) ✓

是,平行!(k = 2)

📋 总结表

运算	公式(3D)
加法	\((u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3)\)
数乘	\((kv_1, kv_2, kv_3)\)
长度	\(\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)
单位向量	\(\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}\)

💡 考试提示

3D:勾股定理用 3 个分量

平行:分量比例固定

î, ĵ, k̂:坐标轴方向的单位向量

📝 第一部分总结

\(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3) = v_1\hat{i} + v_2\hat{j} + v_3\hat{k}\)