代数向量 - 第二部分
数量积与向量积
⚡ 数量积(内积)
代数定义:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\)
结果是一个数(标量)!
几何定义:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta\)
其中 θ 是两向量之间的夹角
例:
\((1, 2, 3) \cdot (4, -1, 2) = 4 - 2 + 6 = 8\)
\((1, 0, -1) \cdot (2, 5, 2) = 2 + 0 - 2 = 0\)
📐 数量积的性质
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)(交换律)
\(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\)(分配律)
\((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})\)
\(\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2\)
⊥ 向量垂直与夹角
\(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
向量之间的夹角:
\(\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\)
✏️ 例:求 \(\vec{u} = (1, 1, 0)\) 与 \(\vec{v} = (0, 1, 1)\) 之间的夹角:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 + 1 + 0 = 1\)
\(|\vec{u}| = \sqrt{2}\),\(|\vec{v}| = \sqrt{2}\)
\(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\)
\(\theta = 60°\)
✖️ 向量积(外积)
\(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) 与 \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) 的向量积:
\(\vec{u} \times \vec{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)\)
结果是一个向量!
💡 行列式公式:
\(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}\)
✏️ 例:计算 \((1, 2, 3) \times (4, 5, 6)\):
x 分量:\(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3\)
y 分量:\(3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6\)
z 分量:\(1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3\)
答案:\((-3, 6, -3)\)
📐 向量积的性质
\(\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})\)(反交换律!)
\(\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}\)(分配律)
\((k\vec{u}) \times \vec{v} = k(\vec{u} \times \vec{v})\)
\(\vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}\)
⭐ 重要的几何性质:
\(\vec{u} \times \vec{v}\) 同时垂直于 \(\vec{u}\) 和 \(\vec{v}\)!
⭐ 单位向量的乘积
数量积:
\(\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1\)
\(\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0\)
向量积:
\(\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}\),\(\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}\),\(\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}\)
\(\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}\),\(\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}\),\(\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}\)
💡 右手定则:
i → j → k → i(顺时针方向 = 正)
∥ 向量积与平行性
\(\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}\)
例:检验 \((2, 4, 6)\) 与 \((1, 2, 3)\) 是否平行:
\((2,4,6) \times (1,2,3) = (4 \cdot 3 - 6 \cdot 2, 6 \cdot 1 - 2 \cdot 3, 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1)\)
\(= (12-12, 6-6, 4-4) = (0, 0, 0) = \vec{0}\)
由于向量积 = 0,两向量平行!✓
📐 平行四边形与三角形面积
由 \(\vec{u}\) 和 \(\vec{v}\) 张成的平行四边形面积:
\(S = |\vec{u} \times \vec{v}|\)
由 \(\vec{u}\) 和 \(\vec{v}\) 张成的三角形面积:
\(S = \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|\)
✏️ 例:求顶点为 \(A(0,0,0), B(1,2,0), C(0,1,3)\) 的三角形面积:
\(\overrightarrow{AB} = (1,2,0)\),\(\overrightarrow{AC} = (0,1,3)\)
\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 3, 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = (6, -3, 1)\)
\(|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{36 + 9 + 1} = \sqrt{46}\)
面积 = \(\frac{\sqrt{46}}{2}\)
📋 比较:数量积 vs 向量积
| 数量积 | 向量积 | |
|---|---|---|
| 记号 | \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) | \(\vec{u} \times \vec{v}\) |
| 结果 | 标量(数) | 向量 |
| 交换律 | 是(可交换) | 否!(反交换) |
| =0 何时? | 垂直(⊥) | 平行(∥) |
| 用途 | 夹角、垂直 | 面积、法向量 |
💡 考试提示
数量积=0:垂直!
向量积=0:平行!
三角形面积:向量积的一半
📝 第二部分总结
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\)(标量)
\(\vec{u} \times \vec{v}\) = 同时垂直于二者的向量
下一部分:空间中的直线与平面