几何向量第二部分 - 加法、减法与数乘

几何向量 - 第二部分

加法、减法与数乘

➕ 向量加法 - 三角形法则

三角形法则(首尾相接):

将第二个向量的尾部放在第一个向量的头部。

和向量是从第一个尾部到最后一个头部的向量。

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)

💡 如何记忆? 中间的字母"相互抵消":AB + BC = AC

➕ 向量加法 - 平行四边形法则

将两个向量放在同一个起点,补全成平行四边形 - 对角线就是和。

🔷 多边形法则(连环相加)

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE}\)

⭐ 闭合多边形:

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}\)

➖ 向量减法

\(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\)

⭐ 实用公式:

\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\)

✖️ 向量的数乘

\(k \cdot \vec{v}\) 的结果:

长度:\(|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|\)
方向:k > 0 时同方向,k < 0 时反方向

📐 运算性质

\(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)(交换律)

\(\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}\)

\(\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}\)

\(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\)(分配律)

\((k + m)\vec{v} = k\vec{v} + m\vec{v}\)

✏️ 例题:指向边中点的向量

在三角形 ABC 中,M 是 BC 的中点。用基向量表示 \(\overrightarrow{AM}\)。

\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)

\(= \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})\)

\(= \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

💡 考试提示

三角形法则:AB + BC = AC

闭合多边形:和 = 0

k < 0:方向反转!

📝 第二部分总结