什么是复数?
复数写成如下形式: \( z = a + bi \)
其中:
- \( a \) – 实部
- \( b \) – 虚部
- \( i \) – 虚数单位,满足 \( i^2 = -1 \)
复平面表示
复数 \( z = a + bi \) 在复平面上表示为点 \( (a,b) \)。
向量长度(模长): \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
角度(辐角): \( \theta = \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \)
复数加法
若
\( z_1 = a + bi \), \( z_2 = c + di \)
则:
\( z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \)
复数减法
\( z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i \)
两个复数的乘法
若
\( z_1 = a + bi \), \( z_2 = c + di \)
则:
\( z_1 z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \)
乘以 \( i \)
若
\( z = a + bi \)
则:
\( iz = i(a+bi) = ai + b i^2 = -b + ai \)
即,乘以 \( i \) 等价于将复数在复平面上逆时针旋转 \(90^\circ\)。
复数的极坐标形式
任意复数都可以写成如下形式:
\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)
其中:
\(r = |z|, \quad \theta = \arg(z)\)
棣莫弗定理(幂)
\(z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))\)
复数的方根
对 \( n \) 次方根公式应用于复数 \( z \) 时,有:
\(z_k = \sqrt[n]{r}\left( \cos\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) \right)\)
\(k = 0,1,\dots,n-1\)