三角学综述 —— 单位圆

⭕ 单位圆

SAT"高考 数学综述 | 

1. 什么是单位圆?

📌 定义:单位圆是以坐标原点 (0,0) 为圆心、半径等于 1 的圆。

圆的方程: x² + y² = 1
x y O 1 -1 1 -1 P(cos α, sin α) sin α cos α α r=1 第 I 象限 第 II 象限 第 III 象限 第 IV 象限
对单位圆上的每一点 P:P = (cos α, sin α)
其中 α 是从 x 轴正方向逆时针测量的角度

2. 角度与弧度的互换

角度 → 弧度 × π/180 ⟷ 弧度 → 角度 × 180/π
角度 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

3. 各象限函数的符号

第 I 象限 sin + | cos + | tan + 全部为正 ✓ 第 II 象限 sin + | cos - | tan - 只有 sin 为正 第 III 象限 sin - | cos - | tan + 只有 tan 为正 第 IV 象限 sin - | cos + | tan - 只有 cos 为正
💡 记忆口诀 — "All Students Take Calculus"(ASTC):
第 I 象限:All(全部为正)
第 II 象限:Sin(只有 sin 为正)
第 III 象限:Tan(只有 tan 为正)
第 IV 象限:Cos(只有 cos 为正)

4. 单位圆上的特殊值

0° (1, 0) 30° (√3/2, 1/2) 45° (√2/2, √2/2) 60° (1/2, √3/2) 90° (0, 1) 120° (-1/2, √3/2) 135° (-√2/2, √2/2) 150° (-√3/2, 1/2) 180° (-1, 0) 270° (0, -1)

5. 互补与诱导关系

关系 sin cos tan
余角(对 90°)
(α 与 90°-α)		 sin(90°-α) = cos α cos(90°-α) = sin α tan(90°-α) = cot α
补角(对 180°)
(α 与 180°-α)		 sin(180°-α) = sin α cos(180°-α) = -cos α tan(180°-α) = -tan α
负角
(-α)		 sin(-α) = -sin α cos(-α) = cos α tan(-α) = -tan α
📌 函数的奇偶性:
  • cos —— 偶函数:cos(-α) = cos(α)
  • sin —— 奇函数:sin(-α) = -sin(α)
  • tan —— 奇函数:tan(-α) = -tan(α)

6. 周期性

sin(α + 360°) = sin α   |   cos(α + 360°) = cos α   |   tan(α + 180°) = tan α

sin 与 cos 的周期:2π(或 360°) | tan 的周期:π(或 180°)
🎯 总结:单位圆是理解任意角度三角函数的核心工具!