三角学综述 —— 三角函数图像

📈 三角函数的图像

SAT"高考 数学综述 | 

1. 正弦函数 y = sin x 的图像

0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 1 -1 y = sin x
性质 取值
定义域 全体实数 ℝ
值域 [-1, 1]
周期 2π
最大值点 x = π/2 + 2πk(值:1)
最小值点 x = 3π/2 + 2πk(值:-1)
零点 x = πk
奇偶性 奇函数(关于原点对称)

2. 余弦函数 y = cos x 的图像

0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 1 -1 y = cos x
📌 sin 与 cos 的关系:
cos x = sin(x + π/2)
余弦函数的图像是正弦函数的图像向左平移 π/2

3. 正切函数 y = tan x 的图像

0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 y = tan x 渐近线
性质 取值
定义域 ℝ \ {π/2 + πk}
值域 全体实数 ℝ
周期 π
垂直渐近线 x = π/2 + πk
零点 x = πk
奇偶性 奇函数

4. 变换 —— 平移与伸缩

一般形式:y = A·sin(Bx + C) + D

A 振幅 |A| = 波的高度 A<0:翻转 值域:[-|A|, |A|] B 频率 周期 = 2π/|B| B>1:水平压缩 B<1:水平拉伸 C 水平平移 相位 = -C/B C>0:向左 C<0:向右 D 垂直平移 中线:y=D D>0:向上 D<0:向下 公式总结: 振幅 = |A|   |   周期 = 2π/|B|   |   相位 = -C/B 值域:[D - |A|, D + |A|]   |   中线:y = D 最大值 = D + |A|   |   最小值 = D - |A|
📝 例题:给定函数 y = 3sin(2x - π/2) + 1

解答:
• A = 3 → 振幅 = 3
• B = 2 → 周期 = 2π/2 = π
• C = -π/2 → 相位 = -(-π/2)/2 = π/4(向右平移 π/4)
• D = 1 → 中线 y = 1
• 值域:[1-3, 1+3] = [-2, 4]

5. 函数对比

y = sin x y = cos x 0 π/2 π 3π/2 2π
💡 绘制图像的技巧:
  1. 确定周期(2π/|B|)
  2. 找到中线(y = D)
  3. 标记最大值和最小值点
  4. 找到零点
  5. 用平滑连续的曲线连接
🎯 总结:理解三角函数的图像对于解方程和不等式至关重要!