🔢 三角恒等式
SAT"高考 数学综述 |
1. 基本恒等式
📌 勾股恒等式
sin²α + cos²α = 1
推导式:
- sin²α = 1 - cos²α
- cos²α = 1 - sin²α
📌 正切的定义
tan α = sin α / cos α
(当 cos α ≠ 0 时有定义)
📌 另一个恒等式
1 + tan²α = 1/cos²α
2. 和差角恒等式
sin(α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β
cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β
cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β
💡 记忆技巧:
• 正弦:"混合型" - sin·cos + cos·sin(符号保留)
• 余弦:"同类型" - cos·cos - sin·sin(符号反转)
• 正弦:"混合型" - sin·cos + cos·sin(符号保留)
• 余弦:"同类型" - cos·cos - sin·sin(符号反转)
📝 例题:计算 sin 75°
解答:
sin 75° = sin(45° + 30°)
= sin45°·cos30° + cos45°·sin30°
= (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2)
= √6/4 + √2/4
= (√6 + √2)/4
解答:
sin 75° = sin(45° + 30°)
= sin45°·cos30° + cos45°·sin30°
= (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2)
= √6/4 + √2/4
= (√6 + √2)/4
3. 二倍角恒等式
📌 正弦的二倍角
sin 2α = 2 sin α · cos α
📌 余弦的二倍角 - 3 种形式!
cos 2α = cos²α - sin²α
cos 2α = 2cos²α - 1
cos 2α = 1 - 2sin²α
cos 2α = 2cos²α - 1
cos 2α = 1 - 2sin²α
📌 降幂公式(由二倍角推导):
- cos²α = (1 + cos 2α) / 2
- sin²α = (1 - cos 2α) / 2
4. 函数的和差化积
sin α + sin β
= 2 sin((α+β)/2) · cos((α-β)/2)
= 2 sin((α+β)/2) · cos((α-β)/2)
sin α - sin β
= 2 cos((α+β)/2) · sin((α-β)/2)
= 2 cos((α+β)/2) · sin((α-β)/2)
cos α + cos β
= 2 cos((α+β)/2) · cos((α-β)/2)
= 2 cos((α+β)/2) · cos((α-β)/2)
cos α - cos β
= -2 sin((α+β)/2) · sin((α-β)/2)
= -2 sin((α+β)/2) · sin((α-β)/2)
💡 记忆技巧:
角度的和/差始终除以 2。
• 和 → 右边出现差的余弦
• 差 → 右边出现差的正弦
角度的和/差始终除以 2。
• 和 → 右边出现差的余弦
• 差 → 右边出现差的正弦
5. 其他辅助恒等式
| 名称 | 恒等式 | 用途 |
|---|---|---|
| 正切的和 | tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα·tanβ) | 求和角的 tan |
| 正切的差 | tan(α-β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα·tanβ) | 求差角的 tan |
| 正切的二倍角 | tan 2α = 2tanα / (1 - tan²α) | 求二倍角的 tan |
6. 解题策略
📝 例题:证明:(1 + tan²α) · cos²α = 1
解答:
左边:
= (1 + sin²α/cos²α) · cos²α
= (cos²α + sin²α)/cos²α · cos²α
= cos²α + sin²α
= 1 ✓
解答:
左边:
= (1 + sin²α/cos²α) · cos²α
= (cos²α + sin²α)/cos²α · cos²α
= cos²α + sin²α
= 1 ✓
🎯 总结:三角恒等式是简化表达式与解方程的核心工具!