📐 三角方程
SAT"高考 数学综述 |
1. 基本方程 - 通解
📌 正弦方程:sin x = m
x = arcsin(m) + 2πk 或 x = π - arcsin(m) + 2πk
(其中 -1 ≤ m ≤ 1, 且 k ∈ ℤ)
📌 余弦方程:cos x = m
x = ± arccos(m) + 2πk
(其中 -1 ≤ m ≤ 1, 且 k ∈ ℤ)
📌 正切方程:tan x = m
x = arctan(m) + πk
(对所有 m ∈ ℝ, 且 k ∈ ℤ)
2. 形如 sin(ax + b) = m 的方程
1 代换:设 t = ax + b
2 求解:解 sin t = m,得到 t₁ 和 t₂
3 回代:代回 ax + b = t,求出 x
4 检查区间:如果给定区间 — 检查哪些解符合
📝 例题:解:sin(2x + π/6) = 1/2,区间 [0, 2π]
解答:
设 t = 2x + π/6
sin t = 1/2
t = π/6 + 2πk 或 t = 5π/6 + 2πk
对于 t = π/6 + 2πk:
2x + π/6 = π/6 + 2πk
2x = 2πk
x = πk
区间 [0, 2π] 内:x = 0, π, 2π
对于 t = 5π/6 + 2πk:
2x + π/6 = 5π/6 + 2πk
2x = 4π/6 + 2πk = 2π/3 + 2πk
x = π/3 + πk
区间 [0, 2π] 内:x = π/3, 4π/3
最终解:x ∈ {0, π/3, π, 4π/3, 2π}
解答:
设 t = 2x + π/6
sin t = 1/2
t = π/6 + 2πk 或 t = 5π/6 + 2πk
对于 t = π/6 + 2πk:
2x + π/6 = π/6 + 2πk
2x = 2πk
x = πk
区间 [0, 2π] 内:x = 0, π, 2π
对于 t = 5π/6 + 2πk:
2x + π/6 = 5π/6 + 2πk
2x = 4π/6 + 2πk = 2π/3 + 2πk
x = π/3 + πk
区间 [0, 2π] 内:x = π/3, 4π/3
最终解:x ∈ {0, π/3, π, 4π/3, 2π}
3. 方程类型与解法
| 方程类型 | 例子 | 解法 |
|---|---|---|
| 基本方程 | sin x = 1/2 | 使用通解公式 |
| 开方 | sin²x = 1/4 | sin x = ±1/2,分别求解 |
| 公因式 | sin x · cos x = 0 | sin x = 0 或 cos x = 0 |
| 二次方程 | 2sin²x - sin x - 1 = 0 | 代换 t = sin x,解二次方程 |
| 两边同函数 | sin 2x = sin x | 2x = x + 2πk 或 2x = π - x + 2πk |
| 使用恒等式 | sin 2x = cos x | 转换:2sin x cos x = cos x |
4. 特殊方程
(1) 形如 a·sin x + b·cos x = 0 的方程
a·sin x + b·cos x = 0
↓ 两边除以 cos x
a·tan x + b = 0
tan x = -b/a
↓ 两边除以 cos x
a·tan x + b = 0
tan x = -b/a
(2) 形如 sin α = sin β 的方程
📌 解:
α = β + 2πk 或 α = π - β + 2πk
(3) 形如 cos α = cos β 的方程
📌 解:
α = β + 2πk 或 α = -β + 2πk
(4) 形如 tan α = tan β 的方程
📌 解:
α = β + πk
5. 给定区间内的解
⚠️ 注意:
- 始终检查 m 是否在适当范围内(对 sin 和 cos 是 -1 ≤ m ≤ 1)
- 不要忘记检查每个周期的两个解
- 记住:tan 的周期是 π 而不是 2π!
- 检查是否有定义域限制(例如,除以 cos x 要求 cos x ≠ 0)
6. 特殊值表
| 方程 | 基本解 | 通解 |
|---|---|---|
| sin x = 0 | x = 0 | x = πk |
| sin x = 1 | x = π/2 | x = π/2 + 2πk |
| sin x = -1 | x = -π/2 | x = -π/2 + 2πk = 3π/2 + 2πk |
| cos x = 0 | x = π/2 | x = π/2 + πk |
| cos x = 1 | x = 0 | x = 2πk |
| cos x = -1 | x = π | x = π + 2πk |
| tan x = 0 | x = 0 | x = πk |
| tan x = 1 | x = π/4 | x = π/4 + πk |
💡 重要提示:
当区间为 0 到 2π 时,通常会有:
• sin 方程有 2 个解(若 |m| < 1)
• cos 方程有 2 个解(若 |m| < 1)
• tan 方程有 2 个解
当区间为 0 到 2π 时,通常会有:
• sin 方程有 2 个解(若 |m| < 1)
• cos 方程有 2 个解(若 |m| < 1)
• tan 方程有 2 个解
🎯 总结:解三角方程需要记住基本公式并关注定义域!