📐 正弦定理
SAT"高考 数学综述 |
1. 定理的表述
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
(R = 外接圆的半径)
(R = 外接圆的半径)
📌 说明:
每条边与其对角的正弦之比是常数,等于外接圆的直径 (2R)。
每条边与其对角的正弦之比是常数,等于外接圆的直径 (2R)。
2. 何时使用正弦定理?
3. 模糊情形 (SSA)
⚠️ 注意!当已知两条边和非夹角时,可能存在多种情况!
📌 如何识别模糊情形?
已知:边 a 和 b,角 α (对边 a)
- 计算 sin β = (b · sin α) / a
- 若 sin β > 1 → 无解
- 若 sin β = 1 → 唯一解 (β = 90°)
- 若 sin β < 1 且 a ≥ b → 唯一解
- 若 sin β < 1 且 a < b → 两个可能的解!
β₁ = arcsin(sin β) 以及 β₂ = 180° - β₁
4. 详细例题
📝 例题 1:求边 (AAS)
在三角形 ABC 中:α = 40°,β = 60°,a = 10 c"m。求 b。
解答:
由正弦定理:
a / sin α = b / sin β
10 / sin 40° = b / sin 60°
b = 10 · sin 60° / sin 40°
b = 10 · 0.866 / 0.643
b ≈ 13.47 c"m
在三角形 ABC 中:α = 40°,β = 60°,a = 10 c"m。求 b。
解答:
由正弦定理:
a / sin α = b / sin β
10 / sin 40° = b / sin 60°
b = 10 · sin 60° / sin 40°
b = 10 · 0.866 / 0.643
b ≈ 13.47 c"m
📝 例题 2:求角
在三角形 ABC 中:a = 8,b = 6,α = 50°。求 β。
解答:
由正弦定理:
sin β / b = sin α / a
sin β = b · sin α / a
sin β = 6 · sin 50° / 8
sin β = 6 · 0.766 / 8 = 0.575
β = arcsin(0.575) ≈ 35.1°
验证:a > b 所以 α > β ✓ (唯一解)
在三角形 ABC 中:a = 8,b = 6,α = 50°。求 β。
解答:
由正弦定理:
sin β / b = sin α / a
sin β = b · sin α / a
sin β = 6 · sin 50° / 8
sin β = 6 · 0.766 / 8 = 0.575
β = arcsin(0.575) ≈ 35.1°
验证:a > b 所以 α > β ✓ (唯一解)
📝 例题 3:模糊情形
在三角形 ABC 中:a = 7,b = 10,α = 30°。求 β。
解答:
sin β = b · sin α / a = 10 · sin 30° / 7 = 10 · 0.5 / 7 ≈ 0.714
由于 a < b,需要检查两个解:
β₁ = arcsin(0.714) ≈ 45.6°
β₂ = 180° - 45.6° = 134.4°
验证:α + β₂ = 30° + 134.4° = 164.4° < 180° ✓
因此两个解都成立!
在三角形 ABC 中:a = 7,b = 10,α = 30°。求 β。
解答:
sin β = b · sin α / a = 10 · sin 30° / 7 = 10 · 0.5 / 7 ≈ 0.714
由于 a < b,需要检查两个解:
β₁ = arcsin(0.714) ≈ 45.6°
β₂ = 180° - 45.6° = 134.4°
验证:α + β₂ = 30° + 134.4° = 164.4° < 180° ✓
因此两个解都成立!
5. 与外接圆的关系
a / sin α = 2R
因此:a = 2R · sin α
因此:a = 2R · sin α
💡 应用:若给定外接圆的半径,可以直接求出各边!
🎯 总结:正弦定理可以在给定角和边时计算边和角,但要注意模糊情形!