📐 余弦定理
SAT"高考 数学综述 | 主题 571
1. 定理的表述
a² = b² + c² - 2bc · cos α
📌 说明:
一边的平方等于其他两边的平方之和,减去这两边乘积的两倍与其夹角余弦的乘积。
一边的平方等于其他两边的平方之和,减去这两边乘积的两倍与其夹角余弦的乘积。
2. 定理的三种形式
💡 记忆规则:
要求边的平方 = 另外两边的平方之和 - 2 × 两边的乘积 × 它们夹角的余弦
要求边的平方 = 另外两边的平方之和 - 2 × 两边的乘积 × 它们夹角的余弦
3. 求角的公式
cos α = (b² + c² - a²) / (2bc)
4. 何时使用余弦定理?
📌 相对于正弦定理的优势:
余弦定理总是给出唯一解!没有模糊情形。
余弦定理总是给出唯一解!没有模糊情形。
5. 与勾股定理的关系
📐 余弦定理是勾股定理的推广!
当 α = 90° 时,cos 90° = 0,因此:
a² = b² + c² - 2bc · 0 = b² + c²
这正是勾股定理!🎉
6. 根据余弦符号判断角的类型
| cos α 的值 | 角 α 的类型 | 三角形的类型 |
|---|---|---|
| cos α > 0 | 锐角 (α < 90°) | a² < b² + c² |
| cos α = 0 | 直角 (α = 90°) | a² = b² + c² (勾股) |
| cos α < 0 | 钝角 (α > 90°) | a² > b² + c² |
💡 重要结论:
仅凭边的长度就可以判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形!
仅凭边的长度就可以判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形!
7. 详细例题
📝 例题 1:求边 (SAS)
在三角形 ABC 中:b = 5,c = 7,α = 60°。求 a。
解答:
a² = b² + c² - 2bc · cos α
a² = 5² + 7² - 2 · 5 · 7 · cos 60°
a² = 25 + 49 - 70 · 0.5
a² = 74 - 35 = 39
a = √39 ≈ 6.24
在三角形 ABC 中:b = 5,c = 7,α = 60°。求 a。
解答:
a² = b² + c² - 2bc · cos α
a² = 5² + 7² - 2 · 5 · 7 · cos 60°
a² = 25 + 49 - 70 · 0.5
a² = 74 - 35 = 39
a = √39 ≈ 6.24
📝 例题 2:求角 (SSS)
在三角形 ABC 中:a = 7,b = 8,c = 5。求角 α。
解答:
cos α = (b² + c² - a²) / (2bc)
cos α = (64 + 25 - 49) / (2 · 8 · 5)
cos α = 40 / 80 = 0.5
α = arccos(0.5) = 60°
在三角形 ABC 中:a = 7,b = 8,c = 5。求角 α。
解答:
cos α = (b² + c² - a²) / (2bc)
cos α = (64 + 25 - 49) / (2 · 8 · 5)
cos α = 40 / 80 = 0.5
α = arccos(0.5) = 60°
📝 例题 3:三角形分类
边长为 5、6、8 的三角形是锐角、直角还是钝角三角形?
解答:
最大的角在最长边 (8) 的对面。
cos γ = (5² + 6² - 8²) / (2 · 5 · 6)
cos γ = (25 + 36 - 64) / 60 = -3/60 = -0.05
由于 cos γ < 0,角 γ 是钝角。
因此该三角形是钝角三角形。
边长为 5、6、8 的三角形是锐角、直角还是钝角三角形?
解答:
最大的角在最长边 (8) 的对面。
cos γ = (5² + 6² - 8²) / (2 · 5 · 6)
cos γ = (25 + 36 - 64) / 60 = -3/60 = -0.05
由于 cos γ < 0,角 γ 是钝角。
因此该三角形是钝角三角形。
8. 比较:正弦定理 vs 余弦定理
| 标准 | 正弦定理 | 余弦定理 |
|---|---|---|
| 所需数据 | AAS、ASA 或 SSA | SAS 或 SSS |
| 模糊情形 | 有 (在 SSA 中) | 没有! |
| 计算难度 | 较简单 | 较复杂 |
| 推荐使用 | 有角度时 | 无角度或 SAS 时 |
🎯 总结:当已知 3 条边或 2 条边及其夹角时,余弦定理是首选工具!