三角学综述 —— 三角形面积公式

📐 三角形面积的三角公式

SAT"高考 数学综述 | 主题 571

1. 三角公式

A B C γ b a c h (γ 在 a 和 b 之间)
S = ½ · a · b · sin γ
📌 说明:
三角形的面积等于两条边的乘积乘以它们夹角正弦的一半。

2. 公式的三种形式

用角 α S = ½ · b · c · sin α 用角 β S = ½ · a · c · sin β 用角 γ S = ½ · a · b · sin γ
💡 记忆规则:
面积 = 一半 × 边 × 边 × 它们夹角的正弦
(这两条边是构成该角的边!)

3. 公式的证明

A B C h c (底) b γ sin γ = h/b → h = b·sin γ
证明步骤:

1. 基本公式:S = ½ · 底 · 高 = ½ · c · h

2. 在直角三角形中:sin γ = h/b → h = b · sin γ

3. 代入:S = ½ · c · (b · sin γ) = ½ · b · c · sin γ

4. 何时使用此公式?

情况 已知 使用的公式
SAS 2 条边和它们的夹角 S = ½ab sin C
ASA 2 个角和 1 条边 先用正弦定理求另一边,再求面积
SSS 3 条边 先用余弦定理求一个角,再求面积

5. 详细例题

📝 例题 1:直接计算面积

在三角形 ABC 中:a = 6,b = 8,γ = 30°。求三角形的面积。

解答:
S = ½ · a · b · sin γ
S = ½ · 6 · 8 · sin 30°
S = ½ · 6 · 8 · 0.5
S = 12 平"米
📝 例题 2:由面积求边

三角形 ABC 的面积为 20 平"米。已知:b = 8,γ = 60°。求 a。

解答:
S = ½ · a · b · sin γ
20 = ½ · a · 8 · sin 60°
20 = ½ · a · 8 · (√3/2)
20 = 2√3 · a
a = 20 / (2√3) = 10/√3 = 10√3/3 ≈ 5.77
📝 例题 3:由面积求角

三角形 ABC 的面积为 15 平"米。已知:a = 5,b = 12。求角 γ (锐角)。

解答:
S = ½ · a · b · sin γ
15 = ½ · 5 · 12 · sin γ
15 = 30 · sin γ
sin γ = 15/30 = 0.5
γ = arcsin(0.5) = 30°

6. 四边形的面积

📌 方法:
要计算四边形的面积(平行四边形、菱形、梯形等') — 将其分成两个三角形,分别计算每一个。
A B C D △ABC △ACD S_ABCD = S_ABC + S_ACD

7. 平行四边形的面积

平行四边形的专属公式:

S = a · b · sin α

(没有一半!因为平行四边形 = 2 个全等三角形)
b a α △1 △2

8. 其他面积公式

公式 用途 备注
S = ½ · 底 · 高 已知高 基本公式
S = ½ · a · b · sin C SAS 三角公式
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] SSS 海伦公式 (s = 半周长)
S = abc / (4R) 有外接圆时 R = 外接圆的半径
S = r · s 有内切圆时 r = 内切圆的半径, s = 半周长
💡 公式选择技巧:
• 已知 2 条边和它们的夹角 → 三角公式
• 已知 3 条边 → 海伦公式
• 已知底和高 → 基本公式
🎯 总结:三角形面积的三角公式 S = ½ab sin C 是计算三角形和多边形面积的有效工具!