علم المثلثات — المتطابقة الفيثاغورية sin²x + cos²x = 1
علم المثلثات — المتطابقة الفيثاغورية sin²x + cos²x = 1. أسئلة تدريبية لتعميق الفهم في المتطابقة الفيثاغورية. تدريب رياضيات أونلاين مع حلول كاملة وشروحات مفصلة خطوة بخطوة.
تدريب المتطابقة الفيثاغورية — sin²x+cos²x=1، الإثبات، الحسابات، الصياغات، تبسيط التعابير.
- المتطابقة الأساسية: sin²x + cos²x = 1
⭐ الهوية:
لكل \(x\)، يتحقق:
\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) ✓
لكل \(x\)، بلا استثناء!
\(\sin^2(x) = (\sin(x))^2\)
\(\cos^2(x) = (\cos(x))^2\)
هذا هو مربع القيمة! ✓
📐 البرهان:
الهوية \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) تنتج من:
نقطة على دائرة الوحدة: \(P = (\cos(x), \sin(x))\)
معادلة الدائرة: \(x^2 + y^2 = 1\)
بالتعويض:
\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) ✓
هذه هي الهوية الفيثاغورية!
في مثلث قائم الزاوية بوتر \(1\):
\(\text{ضلع}^2 + \text{ضلع}^2 = \text{وتر}^2\)
\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1^2\) ✓
🔢 حساب:
إذا كان \(\cos(x) = \frac{3}{5}\)، فإن \(\sin^2(x)\) يساوي:
الهوية: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
المعطى: \(\cos(x) = \frac{3}{5}\)
\(\cos^2(x) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\)
\(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\)
\(= 1 - \frac{9}{25}\)
\(= \frac{25}{25} - \frac{9}{25}\)
\(= \frac{16}{25}\) ✓
🔢 حساب:
إذا كان \(\sin(\alpha) = 0.6\)، فإن \(\cos^2(\alpha)\) يساوي:
الهوية: \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)
المعطى: \(\sin(\alpha) = 0.6\)
\(\sin^2(\alpha) = (0.6)^2 = 0.36\)
\(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)\)
\(= 1 - 0.36\)
\(= 0.64\) ✓
🔢 حساب:
إذا كان \(\cos(x) = \frac{1}{3}\) و\(x\) في الرُّبع الأول، فإن \(\sin(x)\) يساوي:
\(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\)
\(= 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2\)
\(= 1 - \frac{1}{9}\)
\(= \frac{8}{9}\)
\(\sin(x) = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{3}\)
في الرُّبع الأول: \(\sin > 0\)
\(\sin(x) = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) ✓
\(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\) ✓
+ - إشارات:
إذا كان \(\sin(\theta) = \frac{5}{13}\) و\(\theta\) في الرُّبع الثاني، فإن \(\cos(\theta)\) يساوي:
\(\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)\)
\(= 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2\)
\(= 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\)
\(\cos(\theta) = \pm\frac{12}{13}\)
في الرُّبع الثاني: \(\cos < 0\)
\(\cos(\theta) = -\frac{12}{13}\) ✓
✓ التحقق:
عند \(x = 0\)، قيمة \(\sin^2(0) + \cos^2(0)\) هي:
\(\sin(0) = 0\)
\(\cos(0) = 1\)
\(\sin^2(0) + \cos^2(0)\)
\(= 0^2 + 1^2\)
\(= 0 + 1 = 1\) ✓
✓ التحقق:
عند \(x = \frac{\pi}{2}\)، قيمة \(\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right)\) هي:
\(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\)
\(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\)
\(\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
\(= 1^2 + 0^2\)
\(= 1 + 0 = 1\) ✓
✓ التحقق:
عند \(x = \frac{\pi}{4}\)، قيمة \(\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)\) هي:
\(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\)
\(= \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{4}{4} = 1\) ✓
🔄 إعادة كتابة:
\(\sin^2(x)\) يساوي:
من الهوية: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
ننقل \(\cos^2(x)\) إلى الطرف الآخر:
\(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\) ✓
🔄 إعادة كتابة:
\(\cos^2(x)\) يساوي:
من الهوية: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
ننقل \(\sin^2(x)\) إلى الطرف الآخر:
\(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\) ✓
⚡ تبسيط:
التعبير \(\sin^2(x) + \cos^2(x) + 3\) يساوي:
\(\sin^2(x) + \cos^2(x) + 3\)
نستخدم الهوية: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
\(= 1 + 3 = 4\) ✓
⚡ تبسيط:
التعبير \(5\sin^2(x) + 5\cos^2(x)\) يساوي:
\(5\sin^2(x) + 5\cos^2(x)\)
نُخرج \(5\) عاملاً مشتركاً:
\(= 5(\sin^2(x) + \cos^2(x))\)
\(= 5 \cdot 1 = 5\) ✓
📝 معادلة:
إذا كان \(\sin^2(x) = 0.75\)، فإن \(\cos^2(x)\) يساوي:
من الهوية: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
المعطى: \(\sin^2(x) = 0.75\)
\(\cos^2(x) = 1 - 0.75 = 0.25\) ✓
🌐 :
\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) :
הזהות \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
נכונה ל-כל \(x \in \mathbb{R}\) ✓
אין הגבלה על הזווית!
❌ تحديد الخطأ:
خطأ?
\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 2\) ✗
זה לא נכון!
הערך הנכון הוא \(1\), לא \(2\)!
📐 تطبيق:
- \(5\), \(3\), :
משפט פיתגורס: \(a^2 + b^2 = c^2\)
נתון: \(c = 5\), \(a = 3\)
\(3^2 + b^2 = 5^2\)
\(9 + b^2 = 25\)
\(b^2 = 16\)
\(b = 4\) ✓
אם מחלקים ב-\(5^2\):
\(\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1\)
כמו \(\sin^2 + \cos^2 = 1\)!
🔢 حساب:
\(\cos(x) = -\frac{1}{2}\), \(\sin^2(x)\) :
הזהות: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
נתון: \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\)
\(\cos^2(x) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)
\(\sin^2(x) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) ✓
סימן \(\cos\) לא משפיע על \(\cos^2\)!
ריבוע תמיד חיובי ✓
💭 فهم:
\(\sin(x) = 1\), \(\cos(x)\) :
הזהות: \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)
נתון: \(\sin(x) = 1\)
\(1^2 + \cos^2(x) = 1\)
\(\cos^2(x) = 0\)
\(\cos(x) = 0\) ✓
זה קורה בזווית \(x = \frac{\pi}{2}\) (\(90^\circ\))
📚 ملخص:
ملخص: ?
\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) ✓
זו הזהות היחידה שנכונה לכל \(x\)!
• מציאת \(\sin\) מ-\(\cos\)
• מציאת \(\cos\) מ-\(\sin\)
• פישוט ביטויים
• פתרון משוואות
• גיאומטריה במעגל היחידה
✓ הזהות תמיד שווה ל-\(1\)
✓ נובעת ממשוואת המעגל \(x^2 + y^2 = 1\)
✓ תקפה לכל זווית \(x\)