الإحصاء — تدريب مقاييس الارتباط

تأثير زيادة σ:

• يزداد التشتت
• يصبح المنحنى أوسع
• تنخفض القمة
• المتوسط لا يتغير

💡 σ يتحكم في التشتت وليس في الموقع.

📊 مجال معامل ارتباط بيرسون:

تتراوح قيم r بين -1 و +1:

• r = +1: علاقة خطية موجبة كاملة، أي كل النقاط تقع على خط مستقيم صاعد
• r = -1: علاقة خطية سالبة كاملة، أي كل النقاط تقع على خط مستقيم هابط
• r = 0: لا توجد علاقة خطية

💡 الإشارة تدل على الاتجاه، والقيمة المطلقة تدل على القوة.

📐 صيغة مقياس لامدا:

λ = (E₁ − E₂) / E₁

حيث:
• E₁ = أخطاء التنبؤ دون معرفة X = n − أكبر هامش لـ Y
• E₂ = أخطاء التنبؤ مع معرفة X = Σ(مجموع العمود − أكبر قيمة في العمود)

💡 التفسير: λ يقيس نسبة تقليل أخطاء التنبؤ عند معرفة X.

📈 معامل التحديد R²:

R² = r²

إذا كان r = 0.9:
R² = (0.9)² = 0.81

💡 التفسير: 81% من التباين في Y يفسَّر بواسطة العلاقة الخطية مع X.
أما 19% المتبقية فتفسَّر بعوامل أخرى.

📊 معامل فاي (φ) — حالة خاصة من كرامر:

معامل فاي مناسب فقط لجدول 2×2:

φ = √(χ² / n)

في الحقيقة، فاي هو كرامر عندما k = min(عدد الصفوف، عدد الأعمدة) = 2:

كرامر: V = √(χ² / (n·(k−1)))
عندما k = 2: V = √(χ² / n) = φ

💡 للجداول الأكبر نستخدم كرامر (V).

🔢 صيغة معامل ارتباط سبيرمان:

rₛ = 1 − (6·Σdᵢ²) / (n·(n²−1))

حيث:
• dᵢ = فرق الرتب للمشاهدة i
• n = عدد المشاهدات

💡 خطوات الحساب:
1. رتّب X ورتّب Y
2. احسب d = رتبة X − رتبة Y
3. احسب d²
4. عوّض في الصيغة

📊 تباين القيم المتوقعة:

s²ŷ = r² · sᵧ²

المعطيات:
• r = 0.7
• sᵧ = 10 → sᵧ² = 100

الحساب:
s²ŷ = (0.7)² × 100 = 0.49 × 100 = 49

💡 هذا الجزء من التباين المفسَّر بواسطة X.

📈 معادلة خط الانحدار:

ŷ = a + bx

حيث:
• b = الميل = r · (sᵧ / sₓ)
• a = الجزء المقطوع = ȳ − b·x̄
• ŷ = القيمة المتوقعة لـ Y

💡 الخط يمر دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ).

🔗 تفسير r = 0:

يعني عدم وجود علاقة خطية بين المتغيرات.

⚠️ قد توجد علاقة غير خطية قوية.

💡 معامل بيرسون يقيس فقط العلاقة الخطية.

📐 حساب الجزء المقطوع:

a = ȳ − b·x̄

a = 80 − (0.6 × 50) = 80 − 30 = 50

💡 معادلة الانحدار: ŷ = 50 + 0.6x

📊 تفكيك التباين:

sᵧ² = s²ŷ + s²ₑ

التباين المفسَّر + غير المفسَّر.

💡 هذا يفسر لماذا R² = r².

🔢 القيم المتساوية:

تحصل على متوسط الرتب.

📈 التفسير:

الإشارة سالبة → علاقة سلبية
|r| = 0.8 → قوية

💡 علاقة خطية سلبية قوية.

📊 الفرق بين سبيرمان وبيرسون:

سبيرمان (rₛ):
• يقيس علاقة رتيبة، أي علاقة تصاعدية أو تنازلية وليست بالضرورة خطية
• يعتمد على الرتب
• مناسب للمتغيرات الرتبية
• أكثر مقاومة للقيم المتطرفة

بيرسون (r):
• يقيس فقط علاقة خطية
• يعتمد على القيم الأصلية
• مناسب للمتغيرات الفئوية/النسبية

📐 حساب ميل خط الانحدار:

الصيغة: b = r · (sᵧ / sₓ)

المعطيات:
• r = 0.5
• sₓ = 4
• sᵧ = 8

الحساب:
b = 0.5 × (8 / 4)
b = 0.5 × 2 = 1

💡 كل زيادة بمقدار وحدة واحدة في X تتنبأ بزيادة وحدة واحدة في Y.

🔗 حساب مقياس لامدا:

الصيغة: λ = (E₁ − E₂) / E₁

المعطيات:
• E₁ = 40، أخطاء دون معرفة X
• E₂ = 20، أخطاء مع معرفة X

الحساب:
λ = (40 − 20) / 40
λ = 20 / 40 = 0.5

💡 التفسير: معرفة X تقلل أخطاء التنبؤ بـ Y بنسبة 50%.

📊 متى نستخدم سبيرمان؟

يكون سبيرمان أفضل من بيرسون عندما:

• توجد قيم متطرفة — سبيرمان أكثر مقاومة لها
• البيانات لا تتوزع توزيعًا طبيعيًا
• المتغيرات رتبية وليست فئوية/نسبية
• العلاقة رتيبة لكنها ليست خطية

💡 سبيرمان يعتمد على الرتب، لذلك هو أقل حساسية للقيم المتطرفة.

📈 العلاقة بين r و b:

b = r · (sᵧ / sₓ)

بما أن sᵧ و sₓ هما دائمًا موجبان لأنهما انحرافان معياريان:

• إذا كان r > 0 → b > 0، ميل موجب
• إذا كان r < 0 → b < 0، ميل سالب
• إذا كان r = 0 → b = 0، خط أفقي

💡 r و b لهما دائمًا نفس الإشارة.

🔗 الارتباط ≠ السببية:

العلاقة الإحصائية القوية لا تثبت أن متغيرًا واحدًا يسبب الآخر.

أسباب ممكنة للارتباط:
• X يسبب Y
• Y يسبب X
• عامل ثالث Z يسبب كليهما
• المصادفة

💡 مثال كلاسيكي: مبيعات المثلجات وحوادث الغرق مترابطتان، لكن المثلجات لا تسبب الغرق. كلاهما يرتفع بسبب حرارة الصيف.

📐 حساب تباين الأخطاء:

R² = r² يمثل نسبة التباين المفسَّر.

إذا كان R² = 0.64:
• التباين المفسَّر: 64%
• تباين الأخطاء، أي التباين غير المفسَّر: 1 − 0.64 = 36%

الصيغة:
s²ₑ = (1 − r²) · sᵧ²

💡 36% من التباين في Y ناتج عن عوامل أخرى غير X.