الهندسة التحليلية — الدائرة (أساسي)

معادلة الدائرة: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)
المركز هو \((a, b) = (3, 2)\)

من المعادلة: \(r^2 = 16\) لذلك \(r = \sqrt{16} = 4\)

نعوِّض النقطة في المعادلة: \((6-3)^2 + (2-2)^2 = 9 + 0 = 9 = r^2\)
النتيجة تساوي 9، لذلك نعم — النقطة على الدائرة!

دائرة مركزها عند نقطة الأصل: \(x^2 + y^2 = r^2 = 5^2 = 25\)

المعادلة: \((x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 4^2\)
أي: \((x-2)^2 + (y+3)^2 = 16\)

المسافة بين نقطتَين: \(d = \sqrt{(5-2)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

\(r^2 = 36\) لذلك \(r = \sqrt{36} = 6\)

نعوِّض: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 ✓\)
نعم! مثلث 3-4-5 — النقطة على الدائرة

\((x+1)^2 = (x-(-1))^2\)
المركز: \((-1, 4)\)

نصف القطر = المسافة من المركز إلى النقطة:
\(r = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)

\(r^2 = 49\) لذلك \(r = \sqrt{49} = 7\)

نعوِّض: \(0^2 + 5^2 = 0 + 25 = 25 ✓\)
نعم! النقطة على محور y على بُعد 5 من الأصل

المعادلة: \((x-(-2))^2 + (y-3)^2 = 6^2\)
أي: \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 36\)

معادلة من الشكل \(x^2 + y^2 = r^2\) — المركز دائماً عند الأصل \((0,0)\)

المسافة من (0,0) إلى المركز (3,4): \(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
المسافة تساوي نصف القطر، نعم!

\(r^2 = 64\) لذلك \(r = \sqrt{64} = 8\)

نصف القطر = المسافة:
\(r = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)

من المعادلة: \((x-7)^2 + (y-(-4))^2\)
المركز: \((7, -4)\)

نعوِّض: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 ✓\)
نعم! مثلث 6-8-10

المعادلة: \((x-5)^2 + (y-(-1))^2 = 3^2\)
أي: \((x-5)^2 + (y+1)^2 = 9\)

على محور x: \(y=0\)
نعوِّض: \(x^2 + 0 = 16\) → \(x = ±4\)
النقاط: \((4,0), (-4,0)\)

على محور y: \(x=0\)
نعوِّض: \(0 + y^2 = 25\) → \(y = ±5\)
النقاط: \((0,5), (0,-5)\)

على محور y: \(x=0\)
نعوِّض: \((0-3)^2 + y^2 = 4\)
\(9 + y^2 = 4\) → \(y^2 = -5\)
لا يوجد حل! الدائرة بعيدة جداً عن محور y

على محور x: \(y=0\)
نعوِّض: \((x-2)^2+(0-3)^2=9\)
\((x-2)^2+9=9\) → \((x-2)^2=0\)
لا حل حقيقي سوى التماس عند (2,0)

على محور x: \(y=0\)
نعوِّض: \(x^2 + 16 = 16\) → \(x^2 = 0\) → \(x = 0\)
تماس في نقطة واحدة، لكن يوجد "تقاطع"

مع محور x: \((3,0), (-3,0)\) — نقطتان
مع محور y: \((0,3), (0,-3)\) — نقطتان
المجموع: 4 نقاط

مركز على محور x، نصف قطر 5
يقطع محور x عند \((0,0)\) و\((10,0)\)
لا يقطع محور y (بعيد جداً)

نعوِّض \(y=3\) في معادلة الدائرة:
\(x^2 + 9 = 25\) → \(x^2 = 16\) → \(x = ±4\)
نقطتان: \((4,3), (-4,3)\)

نعوِّض \(x=5\):
\(25 + y^2 = 16\) → \(y^2 = -9\)
لا يوجد حل! المستقيم بعيد جداً (r=4، المستقيم عند x=5)

نعوِّض \(y=x\):
\(x^2 + x^2 = 8\) → \(2x^2 = 8\) → \(x^2 = 4\) → \(x = ±2\)
النقاط: \((2,2), (-2,-2)\)

المستقيم \(y=4\) يمر من مركز الدائرة \((3,4)\)
نعوِّض: \((x-3)^2 + 0 = 25\) → \(x-3 = ±5\)
النقاط: \((8,4), (-2,4)\)

نعوِّض \(x=0\):
\(1 + y^2 = 1\) → \(y^2 = 0\) → \(y = 0\)
نقطة واحدة: \((0,0)\) — تماس!

في مثلث قائم الزاوية، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر
نصف القطر = نصف الوتر = \(\frac{10}{2} = 5\)

الوتر هو 5 (الضلع الأطول)
نصف القطر = \(\frac{5}{2} = 2.5\)

الوتر = قطر الدائرة = \(2r = 2 \\cdot 6 = 12\)

الزاوية القائمة عند A. الوتر هو BC
مركز الدائرة = منتصف الوتر = \((\frac{8+0}{2}, \frac{0+6}{2}) = (4,3)\)

الوتر = 13، نصف القطر = \(\frac{13}{2} = 6.5\)
المعادلة: \(x^2 + y^2 = 6.5^2 = 42.25\)

من المعادلة: \(r^2 = 100\) → \(r = 10\)
الوتر = القطر = \(2r = 20\)

في مثلث قائم الزاوية، مركز الدائرة المحيطة دائماً يقع في منتصف الوتر (الضلع الأطول)

قطر المستطيل: \(d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10\)
نصف قطر الدائرة = نصف القطر = \(\frac{10}{2} = 5\)

قطر المربع: \(d = 10\sqrt{2}\)
نصف القطر = نصف القطر = \(\frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\)

نصف القطر = 13 → القطر = 26
قطر المستطيل: \(\sqrt{10^2 + b^2} = 26\)
\(100 + b^2 = 676\) → \(b^2 = 576\) → \(b = 24\)

\(r^2 = 50\) → \(r = 5\sqrt{2}\)
القطر = \(2r = 10\sqrt{2}\)
الضلع = \(\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10\)

أضلاع المستطيل: 6 و8
القطر: \(\sqrt{6^2+8^2} = 10\)
نصف القطر: \(r = 5\)
المعادلة: \(x^2 + y^2 = 25\)

صيغة نصف قطر الدائرة المحيطة: \(R = \frac{abc}{4S}\)
\(R = \frac{5 \\cdot 6 \\cdot 7}{4 \\cdot 14.7} = \frac{210}{58.8} \\approx 3.57\)

\(R = \frac{13 \\cdot 14 \\cdot 15}{4 \\cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8.125\)

في مثلث متساوي الأضلاع: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\)
\(R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)

الأضلاع: AB=6, AC=5, BC=5 (مثلث متساوي الساقَين)
المساحة = 12
\(R = \frac{6 \\cdot 5 \\cdot 5}{4 \\cdot 12} = \frac{150}{48} = 3.125\)

صيغة \(R = \frac{abc}{4S}\) تتطلب أطوال الأضلاع المنفردة، لا المحيط فحسب.
لا يمكن الحساب من المحيط والمساحة وحدهما.

الارتفاع: \(h = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\)
المساحة: \(S = \frac{8 \\cdot 3}{2} = 12\)
\(R = \frac{5 \\cdot 5 \\cdot 8}{4 \\cdot 12} = \frac{200}{48} = \frac{25}{6}\)

الارتفاع: \(h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\)
المساحة: \(S = \frac{12 \\cdot 8}{2} = 48\)
\(R = \frac{10 \\cdot 10 \\cdot 12}{4 \\cdot 48} = \frac{1200}{192} = 6.25\)

من صيغة \(R = \frac{a \\cdot a \\cdot b}{4S}\) ومساحة \(S = \frac{b \\cdot h}{2}\)
الارتفاع: \(h = \sqrt{a^2 - 9}\)
بعد الحل: \(a = 5\)

من المساحة: \(30 = \frac{10 \\cdot h}{2}\) → \(h = 6\)
الساق: \(a = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{61}\)
\(R = \frac{\sqrt{61} \\cdot \sqrt{61} \\cdot 10}{4 \\cdot 30} = \frac{610}{120} \\approx 6.01\)

الارتفاع: \(h = 12\) (مثلث 5-12-13)
المساحة: \(S = 60\)
\(R = \frac{13 \\cdot 13 \\cdot 10}{4 \\cdot 60} = \frac{1690}{240} = 6.5\)
المعادلة: \(x^2 + y^2 = 6.5^2 = 42.25\)