نظرية التشابه ز.ز (زاوية-زاوية)
نظرية التشابه ز.ز (زاوية-زاوية). أسئلة تدريبية لتعميق الفهم في نظرية التشابه ز.ز (زاوية-زاوية). تدريب رياضيات أونلاين مع حلول كاملة وشروحات مفصلة خطوة بخطوة.
تدريب التشابه ز.ز — نظرية تشابه زاوية-زاوية، تمييز المثلثات المتشابهة، نسبة التشابه. تدريب مع شروحات بصرية.
📐 مبرهنة ز.ز.:
يكون مثلثان متشابهين إذا:
💡 شرح مفصل:
المرحلة 1: مبرهنة ز.ز.
إذا كانت زاويتان في مثلث واحد تساويان زاويتين متناظرتين في مثلث ثانٍ، فإن الزاوية الثالثة تتحدد تلقائياً لأن مجموع زوايا المثلث 180°.
لذلك تكون الزوايا الثلاث متناظرة ومتساوية، ومن ثم يكون المثلثان متشابهين.
✓ تمييز التشابه:
المثلث ABC: ∠A=45°، ∠B=60°، ∠C=75°
المثلث DEF: ∠D=45°، ∠E=60°، ∠F=75°
هل هما متشابهان حسب ز.ز.؟
💡 شرح مفصل:
في المثلثين توجد زوايا متناظرة متساوية: 45°، 60°، 75°.
حسب مبرهنة ز.ز.، يكفي وجود زاويتين متناظرتين متساويتين لإثبات التشابه، وهنا الزوايا الثلاث متساوية.
إذن المثلثان متشابهان.
🔢 إيجاد زاوية:
المثلث ABC: ∠A=50°، ∠B=70°
المثلث DEF: ∠D=50°، ∠E=70°
ما مقدار ∠F؟
💡 شرح مفصل:
مجموع زوايا المثلث هو 180°.
∠F = 180° − 50° − 70° = 60°.
🔄 ترتيب التناظر:
المثلث ABC: ∠A=40°، ∠B=60°، ∠C=80°
المثلث DEF: ∠D=60°، ∠E=80°، ∠F=40°
ما التناظر الصحيح؟
💡 شرح مفصل:
نطابق الزوايا المتساوية:
- ∠A = 40° تناظر ∠F = 40°.
- ∠B = 60° تناظر ∠D = 60°.
- ∠C = 80° تناظر ∠E = 80°.
إذن الترتيب الصحيح هو ABC ~ FDE.
⚠️ تمييز خطأ:
قال طالب: "إذا كان ∠A=∠D=50°، فإن المثلثين متشابهان حسب ز.ز."
هل هو محق؟
💡 شرح مفصل:
مبرهنة ز.ز. تتطلب زوجين من الزوايا المتناظرة المتساوية.
زاوية واحدة متساوية، حتى لو كانت 50°، لا تكفي لإثبات التشابه.
🔢 calculation angle:
ABC: ∠A=35°, ∠B=85°
DEF: ∠D=35°, ∠F=60°
? Yes, ∠E?
∠C=180°-35°-85°=60°، ∠F=180°-35°-85°=60°. ∠A=∠D=35° و∠C=∠F=60° ← ز.ز ← تشابه.
📐 right triangles:
ABC: ∠A=90°, ∠B=30°
DEF: ∠D=90°, ∠E=30°
similar by AA (angle-angle similarity)?
ABC: 90°,30°,60°. DEF: 90°,30°,60°. الزوايا متطابقة ← ز.ز ← تشابه.
⚠️ identification :
ABC: ∠A=40°, ∠B=60°
DEF: ∠D=50°, ∠E=70°
?
زوايا ABC: 40°,60°,80°. زوايا DEF: 50°,70°,60°. لا توجد زاويتان متساويتان متناظرتان ← لا تشابه.
🎯 finding angle:
ABC: ∠A=55°, ∠B=x
DEF: ∠D=55°, ∠E=70°
similar triangles. x?
المثلثان متشابهان و∠A=∠D=55° ← ∠B=∠E. ∠E=70° ← x=70°.
🔺 isosceles:
two isosceles
angle .
necessarily ?
مثلثان متساويا الساقين بنفس الزوايا (α,α,β) ← ز.ز ← تشابه.
🔄 exterior angle:
ABC: ∠A=50°, ∠B=60°
exterior angle -C 110°
DEF: ∠D=50°, ∠E=60°
?
الزاوية الداخلية عند C = 180°-110°=70°. ABC: 50°,60°,70° = DEF ← ز.ز ← تشابه.
🎯 finding angle:
ABC ~ DEF
∠A=45°, ∠B=75°, ∠D=45°
∠F?
∠C=180°-45°-75°=60°. في التشابه ABC~DEF: C↔F ← ∠F=∠C=60°.
📦 مستطيل:
مستطيل ABCD AC.
ABC -ADC ?
المستطيل مع قطره يشكّل مثلثَين. الزوايا القائمة متساوية، والزاوية المشتركة عند A ← ز.ز ← تشابه.
⚠️ identification:
ABC: ∠A=30°, ∠B=60°, ∠C=90°
DEF: ∠D=45°, ∠E=45°, ∠F=90°
?
ABC: 30°,60°,90°. DEF: 45°,45°,90°. رغم الزاوية القائمة المشتركة، الزوايا الأخرى مختلفة ← لا تشابه.
🔺🔺🔺 three :
A: 40°, 60°, 80°
B: 40°, 70°, 70°
C: 60°, 80°, 40°
A?
A: {40°,60°,80°} = C: {40°,60°,80°} ← A وC متشابهان. B: {40°,70°,70°} يختلف ← ليس متشابهاً مع A.
📐 isosceles:
ABCD isosceles (AB||CD)
AC -BD.
ΔABC ~ ΔDCB?
شبه المنحرف متساوي الساقين: القاطع يُشكّل مثلثَين بزوايا متناظرة متساوية ← ز.ز ← تشابه.
🔢 :
ABC: ∠A=2x, ∠B=3x
DEF: ∠D=40°, ∠E=60°
similar triangles. x.
دومان متشابهان: ∠A=∠D=40° ← 2x=40° ← x=20. تحقق: ∠B=3×20°=60°=∠E ✓.
🌟 special:
side
. Correct?
كل المثلثات متساوية الأضلاع لها زوايا 60°,60°,60° ← ز.ز دائماً ← جميعها متشابهة بعضها مع بعض.
📖 مسألة كلامية:
في المثلث ABC الزاوية A أكبر بمرتين من الزاوية B، والزاوية C هي 90°.
هل يوجد مثلث مشابه له فيه زاوية 30°؟
💡 شرح مفصل:
المعطى: ∠A = 2·∠B و-∠C = 90°.
لنفرض ∠B = x، إذن ∠A = 2x.
مجموع الزوايا: x + 2x + 90° = 180°، ومنه 3x = 90°، لذلك x = 30°.
إذن الزوايا هي 30°، 60°، 90°، ولذلك يوجد في المثلث نفسه زاوية 30°، وكل مثلث 30°-60°-90° مشابه له.
الإجابة: نعم — الزوايا هي 30°، 60°، 90°.
🔄 تطابق وتشابه:
إذا كان مثلثان متطابقين،
فهل هما بالضرورة متشابهان؟
💡 شرح مفصل:
التطابق يعني الشكل والحجم نفسيهما. التشابه يعني الشكل نفسه، وقد يكون الحجم مختلفاً.
إذا كان مثلثان متطابقين، فكل الأضلاع متساوية وكل الزوايا متساوية ونسبة الأضلاع هي 1:1.
إذن التطابق هو حالة خاصة من التشابه بنسبة 1:1. لذلك كل مثلثين متطابقين هما بالضرورة متشابهان.
🔢 زوايا متتامة:
المثلث ABC: ∠A=x، ∠B=90°-x
المثلث DEF: ∠D=90°-x، ∠E=x
هل هما متشابهان؟
∠A=x=∠E ✓، ∠B=90°-x=∠D ✓ ← زاويتان متساويتان ← ز.ز ← تشابه.
⫽ parallel:
ABC DE parallel -BC
(D AB, E AC).
ΔADE ~ ΔABC?
DE∥BC ← ∠ADE=∠ABC وAED=∠ACB (زوايا متناظرة) ← ز.ز ← △ADE~△ABC.
📖 :
two right triangles.
angles α -β.
two angles β -α.
?
كلا المثلثَين قائمَي الزاوية بنفس الزوايا الحادة α وβ ← ز.ز ← تشابه.
💡 theorem:
الوتر theorem AA (angle-angle similarity)
theorem ?
مقارنة: ز.ز (الأبسط — زاويتان)، ض.ز.ض (زاوية محصورة + نسبة ضلعَين)، ض.ض.ض (نسبة الأضلاع الثلاثة).
🌟 summary مبرهنة ز.ز. (تشابه زاوية-زاوية):
?
ملخص ز.ز: زاويتان متساويتان كافيتان ← التشابه. الزاوية الثالثة تتساوى تلقائياً (مجموع الزوايا = 180°).