Practice Pearson's Correlation Coefficient

شرح خطوة بخطوة، أمثلة محلولة، وتمارين غير محدودة.

📖 الإحصاء – ارتباط بيرسون والانحدار

📈 معامل ارتباط بيرسون والانحدار

معامل ارتباط بيرسون (r) يقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرَين فئويَّين/قياسيَّين.

مجال القيم: −1 ≤ r ≤ +1

ارتباط خطي موجب r ≈ +1 ارتباط خطي سالب r ≈ -1 لا يوجد ارتباط خطي r ≈ 0

📐 التباين المشترك (Covariance)

sₓᵧ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / (n−1)

أو بالصيغة المختصرة:
sₓᵧ = [Σxᵢyᵢ − (Σxᵢ·Σyᵢ)/n] / (n−1)

يقيس التباين المشترك اتجاه العلاقة:

  • sₓᵧ > 0 ← ارتباط موجب
  • sₓᵧ < 0 ← ارتباط سالب
  • sₓᵧ = 0 ← لا يوجد ارتباط خطي

r صيغة بيرسون

r = sₓᵧ / (sₓ · sᵧ)

حيث sₓ وsᵧ هما الانحرافَان المعياريَّان لـX وY

📏 خط الانحدار (Regression)

خط التنبؤ (خط الانحدار) هو المستقيم الذي يصف بأفضل صورة العلاقة الخطية بين X و-Y.

معادلة المستقيم: ŷ = a + bx

ميل المستقيم: b = r · (sᵧ / sₓ)

التقاطع مع المحور: a = ȳ − b·x̄
X Y ŷ = a + bx (خط التنبؤ) الخطأ (e)

📊 معامل التحديد (R²)

R² = r²

يمثّل R² نسبة التباين في Y المفسَّر بواسطة X
مثال: إذا كان r = 0.8، إذاً R² = 0.64
التفسير: 64% من تباين Y يُفسَّر بالعلاقة مع X.
36% المتبقية تُفسَّر بعوامل أخرى.

🔢 تباين التنبؤات وتباين الأخطاء

التباين الكلي = تباين التنبؤات + تباين الأخطاء

sᵧ² = s²ŷ + s²ₑ
المكوّن الصيغة المعنى
تباين التنبؤات s²ŷ = r² · sᵧ² الجزء المفسَّر بواسطة X
تباين الأخطاء s²ₑ = (1 − r²) · sᵧ² الجزء غير المفسَّر

⚠️ نقاط مهمة

  • الارتباط ≠ السببية: الارتباط القوي لا يُثبت أن X يُسبّب Y!
  • r يقيس فقط الارتباط الخطي: قد يوجد ارتباط غير خطي قوي مع r=0
  • حساس للقيم الشاذة: القيم الشاذة قد تغيّر r بشكل كبير
  • التوزيع الطبيعي: لاختبار الدلالة الإحصائية نحتاج توزيعاً طبيعياً

📋 مقارنة مقاييس الارتباط

المقياس نوع المتغيرات نوع الارتباط المجال
لامدا (λ) اسمية عام 0 إلى 1
كرامر (V) اسمية عام 0 إلى 1
سبيرمان (rₛ) ترتيبية -1 إلى +1 -1 إلى +1
بيرسون (r) فترية/نسبية الخطية -1 إلى +1

تمرّن الآن

جرّب مسألة — أسئلة غير محدودة وتغذية راجعة فورية.

اضغط أنشئ تمرينًا للبدء.