التوافقيات
الصفحة 2: المضروب والتباديل
🔢 المضروب (Factorial)
مضروب n (يُكتب n!) هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى n:
\(n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1\)
وبالاصطلاح: \(0! = 1\)
📋 جدول القيم:
| n | n! | القيمة |
|---|---|---|
| 0 | 0! | 1 |
| 1 | 1! | 1 |
| 2 | 2! | 2 |
| 3 | 3! | 6 |
| 4 | 4! | 24 |
| 5 | 5! | 120 |
| 6 | 6! | 720 |
| 7 | 7! | 5,040 |
🔀 التباديل (Permutations)
التبديل = عدد طرق ترتيب جميع عناصر مجموعة في صف
\(\text{عدد الترتيبات} = n!\)
✏️ مثال 1: بكم طريقة يمكن ترتيب 5 أشخاص في صف؟
الشخص الأول: 5 خيارات، الثاني: 4، الثالث: 3، الرابع: 2، الخامس: 1
5! = 120 طريقة
📌 التباديل بشروط
✏️ مثال 2: شخص في الطرف
5 أشخاص في صف. كم ترتيباً يكون فيه أحمد في أحد الطرفين؟
أحمد يختار أحد الطرفين: 2 طريقة
ترتيب الباقين: 4! = 24 طريقة
الإجمالي: 2 × 24 = 48 طريقة
✏️ مثال 3: عنصران متجاوران
5 أشخاص في صف. كم ترتيباً يبقى فيه أحمد وسارة متجاورَين؟
الطريقة: نعامل أحمد+سارة كوحدة واحدة → لدينا 4 عناصر
ترتيب 4 عناصر: 4! = 24
ترتيب أحمد وسارة داخل الوحدة: 2! = 2
الإجمالي: 4! × 2! = 24 × 2 = 48 طريقة
✏️ مثال 4: عنصران غير متجاورَين
5 أشخاص. كم ترتيباً لا يكون فيه أحمد وسارة متجاورَين؟
طريقة المتمم:
الكل: 5! = 120
المتجاوران: 48 (من المثال 3)
غير متجاورَين: 120 - 48 = 72 طريقة
🔁 التباديل مع التكرار
عند وجود عناصر متطابقة، يُقسَّم على مضروب تكرار كل عنصر:
\(\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}\)
✏️ مثال 5: كم ترتيباً مختلفاً لحروف كلمة "LEVEL"؟
5 حروف: L تتكرر مرتين، E تتكرر مرتين، V مرة
\(\frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{120}{4} = 30\)
30 ترتيباً مختلفاً
✏️ مثال 6: كم ترتيباً لأرقام: 1، 1، 2، 2، 3؟
\(\frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{120}{4} = 30\) ترتيباً
⭕ الترتيب الدائري
في الترتيب الدائري نُثبّت عنصراً واحداً ونُرتّب الباقين:
\(\text{عدد الترتيبات الدائرية} = (n-1)!\)
✏️ مثال 7: بكم طريقة يمكن جلوس 6 أشخاص حول طاولة دائرية؟
نُثبّت شخصاً واحداً، نُرتّب الباقين: (6-1)! = 5! = 120 طريقة
💡 لماذا (n-1)! وليس n!؟
في الترتيب الدائري، الدوران الكامل للمجموعة يُعطي نفس الترتيب، لذا نقسم على n → \(\frac{n!}{n} = (n-1)!\)
✏️ مثال شامل
سؤال: 4 رجال و3 سيدات. كم ترتيباً في صف يتناوب فيه الرجال والسيدات؟
النمط يجب أن يكون: ر س ر س ر س ر
ترتيب الرجال في مواضعهم: 4! = 24
ترتيب السيدات في مواضعهن: 3! = 6
الإجمالي: 4! × 3! = 24 × 6 = 144 طريقة
💡 نصائح للاختبار
ترتيب كل العناصر: n!
متجاوران: (n-1)! × 2!
غير متجاورَين: الكل - المتجاوران
دائري: (n-1)!
📝 ملخص الصفحة 2
n! = عدد طرق ترتيب n عنصر
تكرار: نقسم على مضروبات التكرارات
دائري: (n-1)!