التوافقيات
الصفحة 4: التوافيق
📐 التعريف والصيغة C(n,k)
التوفيق C(n,k) = عدد طرق اختيار k عنصراً من n عنصراً دون مراعاة الترتيب
\(C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
✏️ مثال 1: بكم طريقة يمكن اختيار لجنة من 3 أشخاص من 7؟
\(C(7,3) = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\) طريقة
📋 خصائص التوافيق
| الخاصية | الصيغة | مثال |
|---|---|---|
| التماثل | \(C(n,k) = C(n, n-k)\) | C(7,3) = C(7,4) = 35 |
| الحدود الطرفية | \(C(n,0) = C(n,n) = 1\) | C(5,0) = C(5,5) = 1 |
| هوية باسكال | \(C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)\) | C(6,3) = C(5,2) + C(5,3) |
| المجموع | \(\sum_{k=0}^{n} C(n,k) = 2^n\) | مجموع صف باسكال n = 2ⁿ |
🔺 مثلث باسكال
💡 القراءة: الصف n يحتوي C(n,0)، C(n,1)، ...، C(n,n). كل عدد = مجموع العددين فوقه.
✏️ أمثلة متقدمة
مثال 2: لجنة بشروط
5 رجال و4 سيدات. بكم طريقة تُختار لجنة من 4 أشخاص بها رجلان وامرأتان؟
\(C(5,2) \times C(4,2) = 10 \times 6 = 60\) طريقة
مثال 3: اختيار بشرط الاستبعاد
8 أشخاص. لجنة من 3. أحمد وسارة لا يمكن أن يكونا معاً. كم لجنة ممكنة؟
الكل: C(8,3) = 56
اللجان التي تضمهما معاً: C(6,1) = 6
الإجابة: 56 - 6 = 50 لجنة
مثال 4: أقطار مضلع
مضلع عدد رؤوسه n. كم قطراً يحتوي؟
كل قطر = قطعة مستقيمة بين رأسين لا يرتبطان بضلع.
عدد القطع المستقيمة الكلي: C(n,2) = n(n-1)/2
عدد الأضلاع: n
عدد الأقطار = C(n,2) - n = \(\frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n(n-3)}{2}\)
مثال 5: أقصر مسار في شبكة
شبكة 4×3 نقاط. كم أقصر مسار من الزاوية السفلى اليسرى إلى العلوية اليمنى؟
يجب التحرك 3 خطوات لليمين (Y) و2 خطوات للأعلى (A)، إجمالاً 5 خطوات.
\(C(5,2) = 10\) مسار (نختار مواضع الخطوات للأعلى)
💡 نصائح للاختبار
الترتيب غير مهم: استخدم C(n,k)
C(n,k) = C(n, n-k) (التماثل)
بشروط: ضرب C بعضها
📝 ملخص الصفحة 4
\(C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
الترتيب غير مهم | تماثل | هوية باسكال