عندما تحتوي الدالة على جذر ومقام معاً، يجب التحقق من:

1. تحت كل جذر: التعبير ≥ 0
2. كل مقام: التعبير ≠ 0

المجال هو التقاطع (∩) لجميع الشروط!

💡 قاعدة مهمة:

جذر في المقام = يشترط ≥ 0 وأيضاً ≠ 0

معاً: التعبير يجب أن يكون > 0 (موجب تماماً!)

مثال 1: \(f(x) = \frac{5}{\sqrt{x}}\)

نشترط: \(x > 0\)

المجال: \(x > 0\) أو \((0, \infty)\)

مثال 2: \(f(x) = \frac{3}{\sqrt{x - 2}}\)

نشترط: \(x - 2 > 0\) → \(x > 2\)

المجال: \(x > 2\) أو \((2, \infty)\)

مثال 3: \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{5 - x}}\)

نشترط: \(5 - x > 0\) → \(x < 5\)

المجال: \(x < 5\) أو \((-\infty, 5)\)

مثال 4: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 9}}\)

نشترط: \(x^2 - 9 > 0\)

الحل: \((x-3)(x+3) > 0\) → \(x < -3\) أو \(x > 3\)

المجال: \((-\infty, -3) \cup (3, \infty)\)

💡 هنا الشروط منفصلة:

הالجذر يشترط ≥ 0, והالمقام يشترط ≠ 0 (על التعبيرים שונים!)

مثال 5: \(f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 3}\)

شرط الجذر: \(x \geq 0\)

شرط المقام: \(x \neq 3\)

المجال: \(x \geq 0\) و\(x \neq 3\)

مثال 6: \(f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x^2 - 1}\)

شرط الجذر: \(x + 4 \geq 0\) → \(x \geq -4\)

شرط المقام: \(x^2 - 1 \neq 0\) → \(x \neq \pm 1\)

المجال: \(x \geq -4\) و\(x \neq \pm 1\)

مثال 7: \(f(x) = \frac{\sqrt{2x - 6}}{x + 5}\)

شرط الجذر: \(2x - 6 \geq 0\) → \(x \geq 3\)

شرط المقام: \(x \neq -5\)

ملاحظة: -5 < 3، إذن الشرط \(x \neq -5\) محقق أصلاً!

المجال: \(x \geq 3\)

مثال 8: \(f(x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{5 - x}\)

شرط الجذر الأول: \(x - 1 \geq 0\) → \(x \geq 1\)

شرط الجذر الثاني: \(5 - x \geq 0\) → \(x \leq 5\)

التقاطع: يجب تحقيق كلا الشرطين!

المجال: \(1 \leq x \leq 5\) أو \([1, 5]\)

مثال 9: \(f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{4 - x}\)

شرط الجذر الأول: \(x \geq 0\)

شرط الجذر الثاني: \(4 - x \geq 0\) → \(x \leq 4\)

المجال: \(0 \leq x \leq 4\) أو \([0, 4]\)

مثال 10: \(f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x - 2}\)

شرط الجذر: \(x \geq 0\)

شرط المقام: \(x \neq 2\)

المجال: \([0, 2) \cup (2, \infty)\)

مثال 11: \(f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x - 4}}\)

شرط المقام الأول: \(x \neq 0\)

شرط الجذر في المقام: \(x - 4 > 0\) → \(x > 4\)

ملاحظة: إذا كان \(x > 4\) إذن بالتأكيد \(x \neq 0\)

المجال: \(x > 4\) أو \((4, \infty)\)

مثال 12: \(f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{2 - x}}\)

شرط الجذر في البسط: \(x + 3 \geq 0\) → \(x \geq -3\)

شرط الجذر في المقام: \(2 - x > 0\) → \(x < 2\)

المجال: \(-3 \leq x < 2\) أو \([-3, 2)\)

مثال 13: \(f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{x + 1}\)

شرط الجذر في المقام: \(x^2 - 4 > 0\) → \(x < -2\) أو \(x > 2\)

شرط الجذر الثاني: \(x + 1 \geq 0\) → \(x \geq -1\)

التقاطع: يجب (\(x < -2\) أو \(x > 2\)) و(\(x \geq -1\))

\(x < -2\) لا ينطبق لأن \(x \geq -1\)

المجال: \(x > 2\) أو \((2, \infty)\)

1. اكتب جميع الشروط بشكل منفصل
2. احل كل شرط بشكل منفصل
3. أوجد التقاطع – ما يحقق جميعها معاً
4. ارسم محور الأعداد إذا احتجت!