🌳 شجرة الاحتمالات
أقوى أداة لحل مسائل الاحتمالات متعددة المراحل
🎯 ما هي شجرة الاحتمالات؟
شجرة الاحتمالات هي مخطط (Diagram) يصف تجربة تحتوي على عدة مراحل.
|
🔵 عُقَد نقاط قرار / نتيجة |
➡️ فروع إمكانيات + احتمالات |
🏁 أوراق نتائج نهائية |
📐 بنية الشجرة
قواعد بناء الشجرة:
- كل مرحلة في التجربة = مستوى جديد في الشجرة
- كل إمكانية = فرع جديد
- على كل فرع نكتب الاحتمال
- مجموع الاحتمالات من كل عقدة = 1
⭐ القاعدتان الأساسيتان
قاعدة الضرب
على طول المسار
نضرب الاحتمالات
"و" = ضرب
قاعدة الجمع
بين المسارات
نجمع الاحتمالات
"أو" = جمع
💡 تذكّر: على طول = × | بالعرض = +
✏️ مثال 1: رمي قطعة نقد مرتين
وجه = وجه | كتابة = كتابة
حساب الاحتمالات:
| المسار | الحساب (ضرب على طول المسار) | النتيجة |
|---|---|---|
| ص،ص | \(0.5 \times 0.5\) | 0.25 |
| ص،خ | \(0.5 \times 0.5\) | 0.25 |
| خ،ص | \(0.5 \times 0.5\) | 0.25 |
| خ،خ | \(0.5 \times 0.5\) | 0.25 |
تحقق: \(0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 = 1\) ✓
✏️ مثال 2: سحب بدون إرجاع
سؤال: في صندوق 3 كرات حمراء و2 زرقاء. نسحب كرتين بدون إرجاع.
انتبه! الاحتمالات تتغير:
| المسار | الحساب | النتيجة |
|---|---|---|
| ح،ح | \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}\) | \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) |
| ح،ز | \(\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}\) | \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) |
| ز،ح | \(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}\) | \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\) |
| ز،ز | \(\frac{2}{5} \times \frac{1}{4}\) | \(\frac{2}{20} = \frac{1}{10}\) |
تحقق: \(\frac{6+6+6+2}{20} = 1\) ✓
⚠️ فرق مهم:
مع الإرجاع: الاحتمالات لا تتغير
بدون إرجاع: الاحتمالات تتغير!
🔍 استخدام الشجرة للإجابة على الأسئلة
من المثال السابق (3 كرات حمراء، 2 زرقاء، بدون إرجاع):
السؤال أ: ما احتمال أن تكون الكرتان حمراوين؟
الإجابة: مسار واحد فقط (أ،أ)
\(P(\text{أ،أ}) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\)
السؤال ب: ما احتمال أن تكون الكرتان بلونين مختلفين؟
الإجابة: مساران (أ،ز) أو (ز،أ) - نجمع!
\(P(\text{مختلفان}) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\)
السؤال ج: ما احتمال أن تكون واحدة على الأقل حمراء؟
الإجابة (طريقة 1): ثلاثة مسارات (أ،أ)، (أ،ز)، (ز،أ)
\(P = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}\)
الإجابة (طريقة 2 - المتمم): \(1 - P(\text{ز،ز}) = 1 - \frac{2}{20} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}\)
🔄 مع الإرجاع مقابل بدون إرجاع
| مع الإرجاع | بدون إرجاع | |
|---|---|---|
| ماذا يحدث؟ | نسحب، نعيد، ثم نسحب مرة أخرى | نسحب ولا نعيد |
| الاحتمالات | لا تتغير | تتغير! |
| المقام | يبقى ثابتًا | ينقص بمقدار 1 في كل مرحلة |
| مثال (3 حمراء، 2 زرقاء) |
\(P(\text{أ،أ}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}\) | \(P(\text{أ،أ}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}\) |
✅ فحص ذاتي
مجموع جميع الاحتمالات في الأوراق = 1
إذا لم يساوِ 1، فهناك خطأ في الحساب!
مجموع الاحتمالات من كل عقدة = 1
كل الفروع الخارجة من نفس العقدة يجب أن مجموعها يساوي 1
💡 نصائح للامتحان
1️⃣ ارسم دائمًا!
الشجرة تساعد على رؤية كل الاحتمالات وتمنع الأخطاء
2️⃣ اكتب الاحتمالات
على كل فرع يجب كتابة احتماله
3️⃣ ميّز بين مع/بدون
تحقق هل يوجد إرجاع - هذا يؤثر على الاحتمالات!
4️⃣ حدّد المسارات
حدّد المسارات المطلوبة في السؤال
📝 خلاصة
| على طول المسار | → | نضرب × |
| بين المسارات | → | نجمع + |
مجموع كل الأوراق = 1 | مجموع الفروع من كل عقدة = 1