الإحصاء – الدرجة المعيارية: تفسير وحساب ومقارنة

💡 لماذا نحتاج الدرجة المعيارية؟

تخيّلوا: داني حصل على 80 في الرياضيات و80 في الإنجليزية.
هل إنجازه متساوٍ في المادتَين؟

ليس بالضرورة! إذا كان متوسط الرياضيات 70 والإنجليزية 85، فـ80 في الرياضيات فوق المتوسط، لكن 80 في الإنجليزية تحت المتوسط!

الدرجة المعارية – جميع " " .

🔑 الفكرة المحورية:
الدرجة المعارية لم " ", لم " ".

\(z = \dfrac{x - \bar{x}}{S}\)

⚠️ انتبه: الدرجة المعارية لا تُقاس بالنقاط. المقياس " المتوسط". !

📌 قاعدة: قيمة \(z\) مدى بُعد القيمة عن المتوسط، والإشارة تُخبرنا في أي اتجاه (فوق أو تحت).

📝 المعطيات:

في فصل معين:

• المتوسط: \(\bar{x} = 70\)
• الانحراف المعياري: \(S = 10\)
• : \(x = 85\)

🔢 الخطوة 1 – نعوّض في الصيغة:

\(z = \dfrac{x - \bar{x}}{S} = \dfrac{85 - 70}{10}\)

🔢 الخطوة 2 – نحسب البسط:

\(85 - 70 = 15\)

🔢 الخطوة 3 – نقسم على الانحراف:

\(z = \dfrac{15}{10} = 1.5\)

📝 المعطيات:

(\(\bar{x} = 70\), \(S = 10\)), : \(x = 55\)

\(z = \dfrac{55 - 70}{10} = \dfrac{-15}{10} = -1.5\)

📝 المعطيات:

(\(\bar{x} = 70\), \(S = 10\)), جميع : \(x = 70\)

\(z = \dfrac{70 - 70}{10} = \dfrac{0}{10} = 0\)

📝 مثال كامل – مقارنة بين المواد:

داني حصل على 80 في الرياضيات و80 في الإنجليزية. في أيّ مادة هو أفضل بالنسبة للفصل?

	الرياضيات	الإنجليزية
درجة داني	80	80
متوسط الفصل	\(\bar{x} = 70\)	\(\bar{x} = 70\)
الانحراف المعياري	\(S = 10\)	\(S = 5\)

حساب الدرجة المعارية – الرياضيات:

\(z_{\text{}} = \dfrac{80 - 70}{10} = \dfrac{10}{10} = 1\)

حساب الدرجة المعارية – الإنجليزية:

\(z_{\text{}} = \dfrac{80 - 70}{5} = \dfrac{10}{5} = 2\)

💡 لماذا يحدث ذلك؟
الإنجليزية (\(S = 5\)), جميع المتوسط. -10 المتوسط في مجموعة متراصّة هذا إنجاز أكبر من نفس البُعد في مجموعة متناثرة.

• ✅ حين نريد معرفة موضع قيمة بالنسبة للبقية
• ✅ حين نريد مقارنة مجموعات مختلفة (مواد، فصول، اختبارات)
• ✅ حين نريد تحديد القيم الشاذة (المتطرفة)
• ✅ حين نريد العمل مع التوزيع الطبيعي وجدول Z