Geometría analítica — rectas (básico)
Geometría analítica — rectas (básico). Preguntas para practicar y profundizar la comprensión del tema. Práctica de matemáticas en línea con soluciones y explicaciones detalladas.
Geometría analítica — rectas básico — 85 preguntas que cubren: pendiente, ecuación de la recta, intersecciones con los ejes, rectas paralelas y perpendiculares, y punto medio de un segmento. Explicaciones visuales con ejemplos resueltos.
¿Cuál es el tipo de pendiente de la recta representada en el gráfico?
La recta crece de izquierda a derecha, es decir, cuando x aumenta, y también aumenta. Esta es una pendiente positiva.
¿Cuál es el tipo de pendiente de la recta representada en el gráfico?
La recta decrece de izquierda a derecha, es decir, cuando x aumenta, y disminuye. Esta es una pendiente negativa.
¿Cuál es el tipo de pendiente de la recta representada en el gráfico?
La recta es paralela al eje x, es decir, y es constante y no cambia cuando x cambia. La pendiente es 0.
¿Cuál es la pendiente de la recta representada en el gráfico?
La recta crece desde el punto (1,2) hasta el punto (3,4). Cuando x aumenta, y aumenta — pendiente positiva.
¿Cuál recta tiene pendiente negativa?
La recta A crece (pendiente positiva), la recta B decrece (pendiente negativa).
¿Cuál es el significado de una pendiente igual a 0?
Cuando la pendiente es 0, no hay cambio en y cuando x cambia, es decir, la recta es horizontal y paralela al eje x.
La recta \(y = 3x + 2\) es :
La pendiente es 3 (positiva), por lo tanto la recta es creciente de izquierda a derecha.
La recta \(y = -2x + 5\) es :
La pendiente es -2 (negativa), por lo tanto la recta es decreciente de izquierda a derecha.
La recta \(y = 7\) es :
La ecuación \(y = 7\) dice que y es constante e igual a 7 para todo valor de x. Es una recta horizontal con pendiente 0.
¿Cuál de las dos rectas tiene mayor pendiente positiva?
La recta A es más empinada (crece más rápido), por lo tanto su pendiente es mayor.
¿Cuál es el signo de la pendiente de una recta que pasa por los puntos (1,5) y (3,2)?
Cuando se pasa de (1,5) a (3,2), x aumenta y y disminuye. Esto significa que la recta decrece — pendiente negativa.
La recta \(y = -\frac{1}{2}x + 3\) es :
La pendiente es \(-\frac{1}{2}\) (negativa), por lo tanto la recta es decreciente.
La recta \(y = 0.5x - 1\) es :
La pendiente es 0.5 (positiva), por lo tanto la recta es creciente.
¿Cuál es la pendiente de la recta representada?
La recta es vertical (paralela al eje y). Una recta vertical no tiene pendiente definida.
¿Cuál recta tiene una pendiente mayor?
Recta A : \(y = 4x + 1\)
Recta B : \(y = 2x + 3\)
La pendiente de la recta A es 4, la pendiente de la recta B es 2. Como 4 > 2, la recta A es más empinada.
¿Qué pendiente refleja un descenso más empinado?
Una pendiente negativa mayor en valor absoluto (|-5| > |-1|) significa un descenso más empinado.
La recta \(3x + 4y = 12\) es :
Reorganizamos la ecuación : \(4y = -3x + 12\) → \(y = -\frac{3}{4}x + 3\). La pendiente es negativa, por lo tanto la recta es decreciente.
La recta \(2x - y = 4\) es :
Reorganizamos : \(-y = -2x + 4\) → \(y = 2x - 4\). La pendiente es 2 (positiva), por lo tanto la recta es creciente.
La recta \(y - 3 = 0\) es :
La ecuación es equivalente a \(y = 3\), es decir, y es constante. Es una recta horizontal.
La recta \(x + 2 = 0\) es :
La ecuación es equivalente a \(x = -2\), es decir, x es constante. Es una recta vertical.
Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,3) y (5,9)
Por la fórmula : \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{9-3}{5-2} = \frac{6}{3} = 2\)
Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,4) y (3,10)
Por la fórmula : \(m = \frac{10-4}{3-1} = \frac{6}{2} = 3\)
Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (0,2) y (4,0)
Por la fórmula : \(m = \frac{0-2}{4-0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)
Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-1,5) y (2,-1)
Por la fórmula : \(m = \frac{-1-5}{2-(-1)} = \frac{-6}{3} = -2\)
Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3,7) y (3,1)
Por la fórmula : \(m = \frac{1-7}{3-3} = \frac{-6}{0}\) — la división por cero no está definida. Es una recta vertical.
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5) y tiene pendiente \(m = 3\)
Por la fórmula : \(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\(y - 5 = 3(x - 2)\)
\(y - 5 = 3x - 6\)
\(y = 3x - 1\)
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y tiene pendiente \(m = -2\)
Por la fórmula : \(y - 2 = -2(x - 1)\)
\(y - 2 = -2x + 2\)
\(y = -2x + 4\)
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,3) y tiene pendiente \(m = 1\)
El punto (0,3) es la intersección con el eje y, por lo tanto \(b = 3\). La ecuación : \(y = 1 \cdot x + 3 = x + 3\)
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,1) y tiene pendiente \(m = \frac{1}{2}\)
Por la fórmula : \(y - 1 = \frac{1}{2}(x - 3)\)
\(y - 1 = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\)
\(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\)
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1,4) y tiene pendiente \(m = 3\)
Por la fórmula : \(y - 4 = 3(x - (-1))\)
\(y - 4 = 3(x + 1)\)
\(y - 4 = 3x + 3\)
\(y = 3x + 7\)
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,0) y tiene pendiente \(m = -1\)
Por la fórmula : \(y - 0 = -1(x - 4)\)
\(y = -x + 4\)
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,8) y tiene pendiente \(m = 4\)
Por la fórmula : \(y - 8 = 4(x - 2)\)
\(y - 8 = 4x - 8\)
\(y = 4x\)
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (2,5)
Primero hallamos la pendiente : \(m = \frac{5-3}{2-1} = 2\)
Ahora usamos el punto (1,3) : \(y - 3 = 2(x - 1)\)
\(y = 2x + 1\)
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,5) y (2,1)
La pendiente : \(m = \frac{1-5}{2-0} = \frac{-4}{2} = -2\)
El punto de intersección con y es (0,5), por lo tanto \(b = 5\)
La ecuación : \(y = -2x + 5\)
Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2,1) y (1,7)
La pendiente : \(m = \frac{7-1}{1-(-2)} = \frac{6}{3} = 2\)
Usamos el punto (1,7) : \(y - 7 = 2(x - 1)\)
\(y = 2x + 5\)
¿Cuál es el punto de intersección de la recta \(y = 2x + 6\) con el eje y?
El punto de intersección con el eje y es cuando \(x = 0\). Sustituimos : \(y = 2(0) + 6 = 6\)
El punto : \((0, 6)\)
¿Cuál es el punto de intersección de la recta \(y = 2x + 6\) con el eje x?
El punto de intersección con el eje x es cuando \(y = 0\). Sustituimos : \(0 = 2x + 6\)
\(2x = -6\) → \(x = -3\)
El punto : \((-3, 0)\)
¿Cuál es el punto de intersección de la recta \(y = -x + 4\) con el eje y?
Cuando \(x = 0\) : \(y = -(0) + 4 = 4\)
El punto : \((0, 4)\)
¿Cuál es el punto de intersección de la recta \(y = -x + 4\) con el eje x?
Cuando \(y = 0\) : \(0 = -x + 4\)
\(x = 4\)
El punto : \((4, 0)\)
¿Cuáles son los puntos de intersección de la recta \(3x + 2y = 12\) con los ejes?
Con eje x (\(y=0\)) : \(3x = 12\) → \(x = 4\)
Con eje y (\(x=0\)) : \(2y = 12\) → \(y = 6\)
¿Cuál es el punto de intersección de la recta \(y = 5\) con el eje y?
La recta \(y = 5\) es una recta horizontal. Corta al eje y en el punto \((0, 5)\)
¿Cuál es el punto de intersección de la recta \(x = -2\) con el eje x?
La recta \(x = -2\) es una recta vertical. Corta al eje x en el punto \((-2, 0)\)
¿Cuáles son los puntos de intersección de la recta \(x + y = 5\) con los ejes?
Con eje x (\(y=0\)) : \(x = 5\)
Con eje y (\(x=0\)) : \(y = 5\)
El punto \((3, y)\) se encuentra en la recta \(y = 2x + 1\). Halla y
Sustituimos \(x = 3\) en la ecuación : \(y = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7\)
El punto \((x, 10)\) se encuentra en la recta \(y = 3x + 1\). Halla x
Sustituimos \(y = 10\) en la ecuación : \(10 = 3x + 1\)
\(9 = 3x\) → \(x = 3\)
¿Está el punto \((2, 5)\) en la recta \(y = 2x + 1\)?
Comprobamos : sustituimos \(x = 2\) : \(y = 2(2) + 1 = 5\) ✓
¡El punto sí está en la recta!
El punto \((5, y)\) se encuentra en la recta \(y = -x + 8\). Halla y
Sustituimos \(x = 5\) : \(y = -(5) + 8 = 3\)
El punto \((x, 0)\) se encuentra en la recta \(y = 4x - 12\). Halla x
Sustituimos \(y = 0\) : \(0 = 4x - 12\)
\(4x = 12\) → \(x = 3\)
¿Está el punto \((1, 7)\) en la recta \(y = 5x + 3\)?
Comprobamos : sustituimos \(x = 1\) : \(y = 5(1) + 3 = 8\)
Pero en el punto \(y = 7\), por lo tanto el punto no está en la recta.
El punto \((-2, y)\) se encuentra en la recta \(y = 3x + 4\). Halla y
Sustituimos \(x = -2\) : \(y = 3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2\)
El punto \((x, -5)\) se encuentra en la recta \(y = -2x + 1\). Halla x
Sustituimos \(y = -5\) : \(-5 = -2x + 1\)
\(-6 = -2x\) → \(x = 3\)
¿Qué recta es paralela a la recta \(y = 3x + 2\)?
Rectas paralelas = pendientes iguales. La pendiente es 3, por lo tanto \(y = 3x - 5\) es paralela (también pendiente 3).
¿Las rectas \(y = 2x + 1\) e \(y = 2x - 3\) son paralelas?
Las dos rectas tienen pendiente 2, por lo tanto son paralelas.
Halla la ecuación de la recta paralela a \(y = -x + 4\) que pasa por el punto \((2, 5)\)
Recta paralela = misma pendiente \(m = -1\)
Usamos el punto (2,5) : \(y - 5 = -1(x - 2)\)
\(y = -x + 7\)
¿Qué recta es paralela a \(2x + 3y = 6\)?
Rectas paralelas = mismos coeficientes de x e y. Por lo tanto \(2x + 3y = 12\) es paralela.
Halla la ecuación de la recta paralela a \(y = 4x - 1\) que pasa por el origen
Pendiente idéntica \(m = 4\), pasa por (0,0), por lo tanto \(b = 0\). La ecuación : \(y = 4x\)
¿Las rectas \(y = 5x + 2\) e \(y = 5x + 2\) son paralelas?
¡Son exactamente las mismas ecuaciones! Es la misma recta, no dos rectas paralelas.
Halla la pendiente de una recta paralela a la recta que pasa por \((1, 2)\) y \((3, 8)\)
Pendiente de la recta : \(m = \frac{8-2}{3-1} = \frac{6}{2} = 3\)
Recta paralela = misma pendiente = 3
Halla la ecuación de la recta paralela a \(3x - y = 5\) que pasa por \((1, 1)\)
Reorganizamos la ecuación : \(y = 3x - 5\), la pendiente es 3
Pasa por (1,1) : \(y - 1 = 3(x - 1)\) → \(y = 3x - 2\)
¿Qué ecuación describe una recta paralela al eje x?
Una recta paralela al eje x es una recta horizontal, es decir, y es constante. La ecuación : \(y = k\)
¿Qué ecuación describe una recta paralela al eje y?
Una recta paralela al eje y es una recta vertical, es decir, x es constante. La ecuación : \(x = k\)
Halla la ecuación de la recta paralela al eje x que pasa por el punto \((3, 7)\)
Recta paralela al eje x → \(y = \text{קבוע}\). La recta pasa por un punto con \(y = 7\), por lo tanto \(y = 7\)
Halla la ecuación de la recta paralela al eje y que pasa por el punto \((-2, 5)\)
Recta paralela al eje y → \(x = \text{קבוע}\). La recta pasa por un punto con \(x = -2\), por lo tanto \(x = -2\)
¿Cuál es la pendiente de una recta paralela al eje x?
Una recta paralela al eje x es horizontal, y la pendiente de una recta horizontal es 0.
¿Cuál es la pendiente de una recta paralela al eje y?
Una recta paralela al eje y es vertical, y una recta vertical no tiene pendiente definida.
¿Cuál de las siguientes rectas es paralela al eje x?
Una recta paralela al eje x tiene la forma \(y = \text{קבוע}\). Solo \(y = -3\) cumple esto.
Halla la ecuación de la recta paralela al eje x que pasa por el origen
El origen es (0,0). ¡Una recta paralela al eje x con \(y = 0\) es el propio eje x!
Halla el punto medio del segmento entre los puntos \((2, 4)\) y \((6, 8)\)
Por la fórmula : \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+8}{2}\right) = (4, 6)\)
Halla el punto medio del segmento entre los puntos \((0, 0)\) y \((4, 6)\)
Por la fórmula : \(M = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (2, 3)\)
Halla el punto medio del segmento entre los puntos \((-2, 3)\) y \((4, -1)\)
Por la fórmula : \(M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right) = (1, 1)\)
El punto \((3, 5)\) es el punto medio del segmento entre \((1, 2)\) y \((x, y)\). Halla \((x, y)\)
Por el método de los saltos : si M es el punto medio del segmento de A a B, entonces el salto de A a M es igual al salto de M a B
De (1,2) a (3,5) : +2 en x, +3 en y
De (3,5) a (x,y) : +2 en x, +3 en y → (5,8)
Halla el punto medio del segmento entre los puntos \((5, -2)\) y \((-3, 6)\)
Por la fórmula : \(M = \left(\frac{5+(-3)}{2}, \frac{-2+6}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{4}{2}\right) = (1, 2)\)
Halla el punto medio del segmento entre los puntos \((0, 5)\) y \((0, -1)\)
Por la fórmula : \(M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{5+(-1)}{2}\right) = (0, 2)\)
Halla el punto medio del segmento entre los puntos \((-4, -6)\) y \((2, 4)\)
Por la fórmula : \(M = \left(\frac{-4+2}{2}, \frac{-6+4}{2}\right) = \left(\frac{-2}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (-1, -1)\)
El punto \((0, 0)\) es el punto medio del segmento entre \((-3, -5)\) y \((x, y)\). Halla \((x, y)\)
Método de los saltos : de (-3,-5) a (0,0) : +3 en x, +5 en y
De (0,0) a (x,y) : +3 en x, +5 en y → (3,5)
Halla el punto medio del segmento entre los puntos \((7, 1)\) y \((1, 9)\)
Por la fórmula : \(M = \left(\frac{7+1}{2}, \frac{1+9}{2}\right) = (4, 5)\)
El punto \((2, 3)\) es el punto medio del segmento entre \((x, 1)\) y \((4, y)\). Halla x e y
Por la fórmula : \(\frac{x+4}{2} = 2\) → \(x = 0\)
\(\frac{1+y}{2} = 3\) → \(y = 5\)
¿Las rectas \(y = 2x + 1\) e \(y = -\frac{1}{2}x + 3\) son perpendiculares?
Rectas perpendiculares si \(m_1 \cdot m_2 = -1\)
Comprobación : \(2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1\) ✓ ¡Sí!
Halla la ecuación de la recta perpendicular a \(y = 3x + 2\) que pasa por el punto \((0, 5)\)
Pendiente perpendicular : \(m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{3}\)
Pasa por (0,5) : \(b = 5\)
La ecuación : \(y = -\frac{1}{3}x + 5\)
¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a una recta de pendiente \(m = 4\)?
La pendiente perpendicular es el recíproco opuesto : \(m_2 = -\frac{1}{4}\)
¿Las rectas \(y = -x + 4\) e \(y = x - 2\) son perpendiculares?
Comprobación : \(m_1 = -1, m_2 = 1\)
\((-1) \cdot 1 = -1\) ✓ ¡Sí, son perpendiculares!
Halla la ecuación de la recta perpendicular a \(y = -2x + 1\) que pasa por \((4, 3)\)
Pendiente perpendicular : \(m = \frac{1}{2}\)
Pasa por (4,3) : \(y - 3 = \frac{1}{2}(x - 4)\)
\(y = \frac{1}{2}x + 1\)
¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a una recta de pendiente \(m = -\frac{2}{3}\)?
La pendiente perpendicular es el recíproco opuesto : \(m_2 = -\frac{1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\)
¿Las rectas \(3x + 2y = 6\) y \(2x - 3y = 9\) son perpendiculares?
Reorganizamos : \(y = -\frac{3}{2}x + 3\) (pendiente \(-\frac{3}{2}\))
\(y = \frac{2}{3}x - 3\) (pendiente \(\frac{2}{3}\))
Comprobación : \((-\frac{3}{2}) \cdot \frac{2}{3} = -1\) ✓ ¡Perpendiculares!
Halla la ecuación de la recta perpendicular al eje x que pasa por \((5, 2)\)
El eje x es horizontal (pendiente 0). Una recta perpendicular a él es vertical, es decir, \(x = \text{קבוע}\). Pasa por x=5, por lo tanto \(x = 5\)