تدريب على الهندسة التحليلية — المستقيم (أساسي)

المستقيم يصعد من اليسار إلى اليمين، أي عندما يكبر x يكبر y أيضًا. هذا ميل موجب.

المستقيم يهبط من اليسار إلى اليمين، أي عندما يكبر x يصغر y. هذا ميل سالب.

المستقيم موازٍ لمحور x، أي إن y ثابت ولا يتغير عندما يتغير x. الميل هو 0.

المستقيم يصعد من النقطة (1,2) إلى النقطة (3,4). عندما يكبر x يكبر y، لذلك الميل موجب.

المستقيم A صاعد، أي ميله موجب. المستقيم B هابط، أي ميله سالب.

عندما يكون الميل 0، لا يحدث تغير في y عندما يتغير x، أي إن المستقيم أفقي وموازٍ لمحور x.

الميل هو 3، وهو موجب، لذلك المستقيم يصعد من اليسار إلى اليمين.

الميل هو -2، وهو سالب، لذلك المستقيم يهبط من اليسار إلى اليمين.

المعادلة \(y = 7\) تعني أن y ثابت ويساوي 7 لكل قيمة x. هذا مستقيم أفقي ميله 0.

المستقيم A أكثر انحدارًا، أي يصعد بسرعة أكبر، لذلك ميله أكبر.

عند الانتقال من (1,5) إلى (3,2)، يكبر x ويصغر y. هذا يعني أن المستقيم هابط، ولذلك الميل سالب.

الميل هو \(-\frac{1}{2}\)، وهو سالب، لذلك المستقيم هابط.

الميل هو 0.5، وهو موجب، لذلك المستقيم صاعد.

المستقيم عمودي وموازٍ لمحور y. المستقيم العمودي لا يوجد له ميل معرّف.

ميل المستقيم A هو 4، وميل المستقيم B هو 2. لذلك 4 > 2، والمستقيم A أكثر انحدارًا.

الميل السالب الأكبر بالقيمة المطلقة يعني هبوطًا أشد. بما أن \(|-5| > |-1|\)، فالهبوط الأشد هو \(-5\).

نرتب المعادلة: \(3x + 4y = 12\) → \(4y = -3x + 12\) → \(y = -\frac{3}{4}x + 3\). الميل سالب، لذلك المستقيم هابط.

نرتب المعادلة: \(2x - y = 4\) → \(y = 2x - 4\). الميل هو 2، وهو موجب، لذلك المستقيم صاعد.

المعادلة مكافئة لـ \(y = 3\)، أي إن y ثابت. هذا مستقيم أفقي.

المعادلة مكافئة لـ \(x = -2\)، أي إن x ثابت. هذا مستقيم عمودي.

حسب صيغة الميل: \(m = \frac{9-3}{5-2} = \frac{6}{3} = 2\).

حسب صيغة الميل: \(m = \frac{10-4}{3-1} = \frac{6}{2} = 3\).

حسب صيغة الميل: \(m = \frac{0-2}{4-0} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\).

حسب الصيغة: \(m=\frac{-1-5}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2\).

حسب الصيغة: \(m=\frac{1-7}{3-3}=\frac{-6}{0}\). القسمة على صفر غير معرّفة، لذلك هذا مستقيم عمودي وميله غير معرّف.

نستخدم صيغة معادلة المستقيم ونحصل بالتبسيط على: \(y-y_1=m(x-x_1)\)\(y-5=3(x-2)\)\(y-5=3x-6\)\(y=3x-1\)

نستخدم صيغة معادلة المستقيم ونحصل بالتبسيط على: \(y-2=-2(x-1)\)\(y-2=-2x+2\)\(y=-2x+4\)

نستخدم صيغة معادلة المستقيم ونحصل بالتبسيط على: \(b=3\)\(y=1\cdot x+3=x+3\)

نستخدم صيغة معادلة المستقيم ونحصل بالتبسيط على: \(y-1=\frac{1}{2}(x-3)\)\(y-1=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\)\(y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)

نستخدم صيغة معادلة المستقيم ونحصل بالتبسيط على: \(y-4=3(x-(-1))\)\(y-4=3(x+1)\)\(y-4=3x+3\)\(y=3x+7\)

نستخدم صيغة معادلة المستقيم ونحصل بالتبسيط على: \(y-0=-1(x-4)\)\(y=-x+4\)

نستخدم صيغة معادلة المستقيم ونحصل بالتبسيط على: \(y-8=4(x-2)\)\(y-8=4x-8\)\(y=4x\)

نجد الميل أولاً، ثم نستخدم إحدى النقطتين لإيجاد معادلة المستقيم: \(m=\frac{5-3}{2-1}=2\)\(y-3=2(x-1)\)\(y=2x+1\)

نجد الميل أولاً، ثم نستخدم إحدى النقطتين لإيجاد معادلة المستقيم: \(m=\frac{1-5}{2-0}=\frac{-4}{2}=-2\)\(b=5\)\(y=-2x+5\)

نجد الميل أولاً، ثم نستخدم إحدى النقطتين لإيجاد معادلة المستقيم: \(m=\frac{7-1}{1-(-2)}=\frac{6}{3}=2\)\(y-7=2(x-1)\)\(y=2x+5\)

نجد نقطة التقاطع بالتعويض المناسب: مع محور x نضع \(y=0\)، ومع محور y نضع \(x=0\). \(x=0\)\(y=2(0)+6=6\)\((0,6)\)

نجد نقطة التقاطع بالتعويض المناسب: مع محور x نضع \(y=0\)، ومع محور y نضع \(x=0\). \(y=0\)\(0=2x+6\)\(2x=-6\)\(x=-3\)\((-3,0)\)

نجد نقطة التقاطع بالتعويض المناسب: مع محور x نضع \(y=0\)، ومع محور y نضع \(x=0\). \(x=0\)\(y=-(0)+4=4\)\((0,4)\)

نجد نقطة التقاطع بالتعويض المناسب: مع محور x نضع \(y=0\)، ومع محور y نضع \(x=0\). \(y=0\)\(0=-x+4\)\(x=4\)\((4,0)\)

نجد نقطة التقاطع بالتعويض المناسب: مع محور x نضع \(y=0\)، ومع محور y نضع \(x=0\). \(y=0\)\(3x=12\)\(x=4\)\(x=0\)\(2y=12\)\(y=6\)\((4,0)\)\((0,6)\)

نجد نقطة التقاطع بالتعويض المناسب: مع محور x نضع \(y=0\)، ومع محور y نضع \(x=0\). \(y=5\)\((0,5)\)

نجد نقطة التقاطع بالتعويض المناسب: مع محور x نضع \(y=0\)، ومع محور y نضع \(x=0\). \(x=-2\)\((-2,0)\)

نجد نقطة التقاطع بالتعويض المناسب: مع محور x نضع \(y=0\)، ومع محور y نضع \(x=0\). \(y=0\)\(x=5\)\(x=0\)\(y=5\)\((5,0)\)\((0,5)\)

نعوّض الإحداثي المعطى في معادلة المستقيم ونحل لإيجاد القيمة المطلوبة: \(x=3\)\(y=2(3)+1=6+1=7\)

نعوّض الإحداثي المعطى في معادلة المستقيم ونحل لإيجاد القيمة المطلوبة: \(y=10\)\(10=3x+1\)\(9=3x\)\(x=3\)

نعوّض الإحداثي المعطى في معادلة المستقيم ونحل لإيجاد القيمة المطلوبة: \(x=2\)\(y=2(2)+1=5\)

نعوّض الإحداثي المعطى في معادلة المستقيم ونحل لإيجاد القيمة المطلوبة: \(x=5\)\(y=-(5)+8=3\)

نعوّض الإحداثي المعطى في معادلة المستقيم ونحل لإيجاد القيمة المطلوبة: \(y=0\)\(0=4x-12\)\(4x=12\)\(x=3\)

نعوّض الإحداثي المعطى في معادلة المستقيم ونحل لإيجاد القيمة المطلوبة: \(x=1\)\(y=5(1)+3=8\)\(y=7\)

نعوّض الإحداثي المعطى في معادلة المستقيم ونحل لإيجاد القيمة المطلوبة: \(x=-2\)\(y=3(-2)+4=-6+4=-2\)

نعوّض الإحداثي المعطى في معادلة المستقيم ونحل لإيجاد القيمة المطلوبة: \(y=-5\)\(-5=-2x+1\)\(-6=-2x\)\(x=3\)

نستخدم خاصية المستقيمات المتوازية: لها نفس الميل. \(y=3x+2\)\(y=3x-5\)

نستخدم خاصية المستقيمات المتوازية: لها نفس الميل.

نستخدم خاصية المستقيمات المتوازية: لها نفس الميل. \(m=-1\)\(y-5=-1(x-2)\)\(y=-x+7\)

نستخدم خاصية المستقيمات المتوازية: لها نفس الميل. \(x\)\(y\)\(2x+3y=12\)

نستخدم خاصية المستقيمات المتوازية: لها نفس الميل. \(m=4\)\((0,0)\)\(b=0\)\(y=4x\)

نستخدم خاصية المستقيمات المتوازية: لها نفس الميل.

نستخدم خاصية المستقيمات المتوازية: لها نفس الميل. \(m=\frac{8-2}{3-1}=\frac{6}{2}=3\)

نستخدم خاصية المستقيمات المتوازية: لها نفس الميل. \(y=3x-5\)\(y-1=3(x-1)\)\(y=3x-2\)

نستخدم خاصية المستقيمات المتوازية: لها نفس الميل. \(y\)\(y=k\)

نستخدم خاصية المستقيمات المتوازية: لها نفس الميل. \(x\)\(x=k\)

مستقيم موازٍ لمحور x يكون على الصورة \(y = \text{ثابت}\). المستقيم يمر بنقطة فيها y=7، لذلك المعادلة هي \(y = 7\).

مستقيم موازٍ لمحور y يكون على الصورة \(x = \text{ثابت}\). المستقيم يمر بنقطة فيها x=-2، لذلك المعادلة هي \(x = -2\).

المستقيم الموازي لمحور x هو مستقيم أفقي، وميل المستقيم الأفقي هو 0.

المستقيم الموازي لمحور y هو مستقيم عمودي، والمستقيم العمودي لا يوجد له ميل معرّف.

المستقيم الموازي لمحور x يكون على الصورة \(y = \text{ثابت}\). فقط \(y = 4\) يحقق ذلك.

رأس المحاور هو (0,0). مستقيم موازٍ لمحور x مع \(y=0\) هو محور x نفسه.

حسب الصيغة: \(M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{4+8}{2} ight) = (4, 6)\).

حسب الصيغة: \(M = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+6}{2} ight) = (2, 3)\).

حسب الصيغة: \(M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+(-1)}{2} ight) = \left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2} ight) = (1, 1)\).

حسب طريقة القفزات: إذا كانت M منتصف القطعة من A إلى B، فإن القفزة من A إلى M تساوي القفزة من M إلى B.
من (1,2) إلى (3,5): +2 في x، +3 في y.
من (3,5) إلى (x,y): +2 في x، +3 في y → (5,8).

حسب الصيغة: \(M = \left(\frac{5+(-3)}{2}, \frac{-2+6}{2} ight) = \left(\frac{2}{2}, \frac{4}{2} ight) = (1, 2)\).

حسب الصيغة: \(M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{5+(-1)}{2} ight) = (0, 2)\).

حسب الصيغة: \(M = \left(\frac{-4+2}{2}, \frac{-6+4}{2} ight) = \left(\frac{-2}{2}, \frac{-2}{2} ight) = (-1, -1)\).

طريقة القفزات: من (-3,-5) إلى (0,0): +3 في x و+5 في y.
من (0,0) إلى (x,y): +3 في x و+5 في y → (3,5).

حسب الصيغة: \(M = \left(\frac{7+1}{2}, \frac{1+9}{2} ight) = (4, 5)\).

من الصيغة: \(\frac{x+4}{2} = 2\) → \(x = 0\)
\(\frac{1+y}{2} = 3\) → \(y = 5\).

المستقيمان متعامدان إذا كان \(m_1 \cdot m_2 = -1\).
فحص: \(2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1\) ✓ نعم!

الميل العمودي: \(m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{3}\)
يمر عبر (0,5): \(b = 5\)
المعادلة: \(y = -\frac{1}{3}x + 5\).

الميل العمودي هو المقلوب السالب: \(m_2 = -\frac{1}{4}\).

فحص: \(m_1 = -1, m_2 = 1\)
\((-1) \cdot 1 = -1\) ✓ نعم، متعامدان!

الميل العمودي: \(m = \frac{1}{2}\)
يمر عبر (4,3): \(y - 3 = \frac{1}{2}(x - 4)\)
\(y = \frac{1}{2}x + 1\).

الميل العمودي هو المقلوب السالب: \(m_2 = -\frac{1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\).

نرتب: \(y = -\frac{3}{2}x + 3\) (الميل \(-\frac{3}{2}\))
\(y = \frac{2}{3}x - 3\) (الميل \(\frac{2}{3}\))
فحص: \((-\frac{3}{2}) \cdot \frac{2}{3} = -1\) ✓ متعامدان!

محور x أفقي وميله 0. المستقيم العمودي عليه يكون رأسيًا، أي \(x = \text{ثابت}\). يمر عبر x=5، لذلك \(x = 5\).