Números complejos - Parte 1
Introducción, definiciones y operaciones básicas
🌟 ¿Por qué necesitamos los números complejos?
Empecemos con una pregunta sencilla:
¿Cuál es la solución de la ecuación \(x^2 = -1\)?
en los números reales no hay solución - ¡porque el cuadrado de cualquier número real es no negativo!
para resolver este tipo de problemas, se inventó un nuevo número llamado i (de Imaginary - imaginario).
⭐ Definición de la unidad imaginaria i
\(i = \sqrt{-1}\)
\(i^2 = -1\)
💡 ¡ahora sí hay solución!
\(x^2 = -1\)
\(x = \pm\sqrt{-1} = \pm i\)
🔄 Potencias de i (¡periódicas!)
\(i^0 = 1\)
\(i^1 = i\)
\(i^2 = -1\)
\(i^3 = -i\)
¡y luego se repite desde el principio!
\(i^4 = 1, \quad i^5 = i, \quad i^6 = -1, \quad i^7 = -i, \quad ...\)
🔑 ¿cómo calcular \(i^n\)?
se divide n entre 4 y se mira el resto:
- resto 0 → \(i^n = 1\)
- resto 1 → \(i^n = i\)
- resto 2 → \(i^n = -1\)
- resto 3 → \(i^n = -i\)
Ejemplo: \(i^{23} = ?\)
\(23 \div 4 = 5\) resto \(3\)
por lo tanto: \(i^{23} = i^3 = -i\)
📐 ¿Qué es un número complejo?
\(z = a + bi\)
| \(z\) | el número complejo |
| \(a\) | la parte real (Real part) - se denota \(\text{Re}(z)\) |
| \(b\) | la parte imaginaria (Imaginary part) - se denota \(\text{Im}(z)\) |
| \(i\) | la unidad imaginaria (\(i^2 = -1\)) |
Ejemplos:
| \(z = 3 + 2i\) | → \(a = 3, \, b = 2\) |
| \(z = -1 + 4i\) | → \(a = -1, \, b = 4\) |
| \(z = 5 - 3i\) | → \(a = 5, \, b = -3\) |
| \(z = 7\) | → \(a = 7, \, b = 0\) (¡número real!) |
| \(z = 4i\) | → \(a = 0, \, b = 4\) (imaginario puro) |
⚖️ Igualdad de números complejos
dos números complejos son iguales si y solo si:
\(a + bi = c + di \iff a = c \text{ y } b = d\)
💡 En palabras: las partes reales son iguales y las partes imaginarias también.
Ejemplo: hallar x e y si \(2x + 3yi = 6 - 9i\)
se igualan partes reales: \(2x = 6 \implies x = 3\)
se igualan partes imaginarias: \(3y = -9 \implies y = -3\)
➕ Suma y resta
\((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
\((a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
💡 La regla: se suman/restan las partes reales por separado y las imaginarias por separado.
Ejemplos:
\((3 + 2i) + (1 + 4i) = (3+1) + (2+4)i = 4 + 6i\)
\((5 - 3i) - (2 + i) = (5-2) + (-3-1)i = 3 - 4i\)
\((7 + 2i) + (-7 + 3i) = 0 + 5i = 5i\)
✖️ Multiplicación
\((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
💡 ¿Cómo recordarlo? se desarrollan los paréntesis como siempre y se usa \(i^2 = -1\):
\((a + bi)(c + di)\)
\(= ac + adi + bci + bdi^2\)
\(= ac + adi + bci + bd(-1)\)
\(= (ac - bd) + (ad + bc)i\)
Ejemplo: \((2 + 3i)(4 - i)\)
\(= 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)\)
\(= 8 - 2i + 12i - 3i^2\)
\(= 8 - 2i + 12i - 3(-1)\)
\(= 8 + 3 + (-2 + 12)i\)
\(= 11 + 10i\)
🪞 Conjugado (Conjugate)
si \(z = a + bi\), entonces su conjugado es:
\(\bar{z} = a - bi\)
💡 En palabras: ¡se cambia solo el signo de la parte imaginaria!
Ejemplos:
| \(z = 3 + 2i\) | → | \(\bar{z} = 3 - 2i\) |
| \(z = 5 - 4i\) | → | \(\bar{z} = 5 + 4i\) |
| \(z = -2i\) | → | \(\bar{z} = 2i\) |
| \(z = 7\) | → | \(\bar{z} = 7\) (un real es su propio conjugado) |
⭐ Propiedad importante:
\(z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\)
(¡siempre un real no negativo!)
Demostración:
\((a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2\)
➗ División
para dividir, se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador:
\(\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}\)
Ejemplo: \(\frac{3 + 2i}{1 - i}\)
Paso 1: multiplicar por el conjugado del denominador (\(1 + i\))
\(\frac{3 + 2i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}\)
Paso 2: calcular el denominador
\((1 - i)(1 + i) = 1^2 + 1^2 = 2\)
Paso 3: calcular el numerador
\((3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i^2 = 3 + 5i - 2 = 1 + 5i\)
Paso 4: dividir
\(\frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i\)
📋 Tabla resumen - operaciones básicas
| operación | fórmula |
|---|---|
| suma | \((a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i\) |
| resta | \((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\) |
| multiplicación | \((a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i\) |
| conjugado | \(\overline{a+bi} = a - bi\) |
| \(z \cdot \bar{z}\) | \(a^2 + b^2\) |
| división | multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador |
💡 Consejos para el examen
1️⃣ Potencias de i
periodicidad 4: dividir entre 4 y mirar el resto
2️⃣ Multiplicación
desarrollar paréntesis como siempre, recordando \(i^2 = -1\)
3️⃣ División
¡siempre multiplicar por el conjugado del denominador!
4️⃣ Igualdad
igualar real con real, imaginario con imaginario
📝 Resumen Parte 1
\(z = a + bi\)
\(i^2 = -1\)
\(\bar{z} = a - bi\)
en la siguiente parte: módulo, representación gráfica y plano complejo