复数 - 第一部分
引入、定义与基本运算
🌟 为什么需要复数?
让我们从一个简单的问题开始:
方程 \(x^2 = -1\) 的解是什么?
在实数范围内没有解 - 因为任何实数的平方都是非负的!
为了解决这类问题,引入了一个新的数,称为 i(来自 Imaginary - 虚数)。
⭐ 虚数单位 i 的定义
\(i = \sqrt{-1}\)
\(i^2 = -1\)
💡 现在有解了!
\(x^2 = -1\)
\(x = \pm\sqrt{-1} = \pm i\)
🔄 i 的幂(具有周期性!)
\(i^0 = 1\)
\(i^1 = i\)
\(i^2 = -1\)
\(i^3 = -i\)
然后从头开始循环!
\(i^4 = 1, \quad i^5 = i, \quad i^6 = -1, \quad i^7 = -i, \quad ...\)
🔑 如何计算 \(i^n\)?
把 n 除以 4 并查看余数:
- 余数为 0 → \(i^n = 1\)
- 余数为 1 → \(i^n = i\)
- 余数为 2 → \(i^n = -1\)
- 余数为 3 → \(i^n = -i\)
例:\(i^{23} = ?\)
\(23 \div 4 = 5\) 余 \(3\)
所以:\(i^{23} = i^3 = -i\)
📐 什么是复数?
\(z = a + bi\)
| \(z\) | 复数 |
| \(a\) | 实部(Real part)- 记作 \(\text{Re}(z)\) |
| \(b\) | 虚部(Imaginary part)- 记作 \(\text{Im}(z)\) |
| \(i\) | 虚数单位(\(i^2 = -1\)) |
例题:
| \(z = 3 + 2i\) | → \(a = 3, \, b = 2\) |
| \(z = -1 + 4i\) | → \(a = -1, \, b = 4\) |
| \(z = 5 - 3i\) | → \(a = 5, \, b = -3\) |
| \(z = 7\) | → \(a = 7, \, b = 0\)(实数!) |
| \(z = 4i\) | → \(a = 0, \, b = 4\)(纯虚数) |
⚖️ 复数相等
两个复数相等当且仅当:
\(a + bi = c + di \iff a = c \text{ 且 } b = d\)
💡 用文字表达:实部相等且虚部相等。
例:若 \(2x + 3yi = 6 - 9i\),求 x 和 y
实部相等:\(2x = 6 \implies x = 3\)
虚部相等:\(3y = -9 \implies y = -3\)
➕ 加法和减法
\((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
\((a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
💡 规则:分别相加/相减实部和虚部。
例题:
\((3 + 2i) + (1 + 4i) = (3+1) + (2+4)i = 4 + 6i\)
\((5 - 3i) - (2 + i) = (5-2) + (-3-1)i = 3 - 4i\)
\((7 + 2i) + (-7 + 3i) = 0 + 5i = 5i\)
✖️ 乘法
\((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
💡 如何记忆?正常展开括号并使用 \(i^2 = -1\):
\((a + bi)(c + di)\)
\(= ac + adi + bci + bdi^2\)
\(= ac + adi + bci + bd(-1)\)
\(= (ac - bd) + (ad + bc)i\)
例:\((2 + 3i)(4 - i)\)
\(= 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)\)
\(= 8 - 2i + 12i - 3i^2\)
\(= 8 - 2i + 12i - 3(-1)\)
\(= 8 + 3 + (-2 + 12)i\)
\(= 11 + 10i\)
🪞 共轭复数(Conjugate)
若 \(z = a + bi\),则它的共轭为:
\(\bar{z} = a - bi\)
💡 用文字表达:仅改变虚部的符号!
例题:
| \(z = 3 + 2i\) | → | \(\bar{z} = 3 - 2i\) |
| \(z = 5 - 4i\) | → | \(\bar{z} = 5 + 4i\) |
| \(z = -2i\) | → | \(\bar{z} = 2i\) |
| \(z = 7\) | → | \(\bar{z} = 7\)(实数 = 自身的共轭) |
⭐ 重要性质:
\(z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\)
(始终是非负实数!)
证明:
\((a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2\)
➗ 除法
为了做除法,分子分母同时乘以分母的共轭:
\(\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}\)
例:\(\frac{3 + 2i}{1 - i}\)
步骤 1:乘以分母的共轭(\(1 + i\))
\(\frac{3 + 2i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}\)
步骤 2:计算分母
\((1 - i)(1 + i) = 1^2 + 1^2 = 2\)
步骤 3:计算分子
\((3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i^2 = 3 + 5i - 2 = 1 + 5i\)
步骤 4:除法
\(\frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i\)
📋 总结表 - 基本运算
| 运算 | 公式 |
|---|---|
| 加法 | \((a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i\) |
| 减法 | \((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\) |
| 乘法 | \((a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i\) |
| 共轭 | \(\overline{a+bi} = a - bi\) |
| \(z \cdot \bar{z}\) | \(a^2 + b^2\) |
| 除法 | 分子分母同乘分母的共轭 |
💡 考试提示
1️⃣ i 的幂
周期为 4:除以 4 看余数
2️⃣ 乘法
正常展开括号,记住 \(i^2 = -1\)
3️⃣ 除法
总是乘以分母的共轭!
4️⃣ 相等
实部对实部,虚部对虚部
📝 第一部分总结
\(z = a + bi\)
\(i^2 = -1\)
\(\bar{z} = a - bi\)
下一部分:绝对值、几何表示与复平面