Nombres complexes - Partie 1
Introduction, définitions et opérations de base
🌟 Pourquoi a-t-on besoin des nombres complexes ?
Commençons par une question simple :
Quelle est la solution de l'équation \(x^2 = -1\) ?
dans les nombres réels il n'y a pas de solution - car le carré de tout nombre réel est positif ou nul !
pour résoudre ce type de problèmes, on a inventé un nouveau nombre appelé i (de Imaginary - imaginaire).
⭐ Définition de l'unité imaginaire i
\(i = \sqrt{-1}\)
\(i^2 = -1\)
💡 maintenant il y a une solution !
\(x^2 = -1\)
\(x = \pm\sqrt{-1} = \pm i\)
🔄 Puissances de i (périodiques !)
\(i^0 = 1\)
\(i^1 = i\)
\(i^2 = -1\)
\(i^3 = -i\)
puis cela recommence depuis le début !
\(i^4 = 1, \quad i^5 = i, \quad i^6 = -1, \quad i^7 = -i, \quad ...\)
🔑 comment calculer \(i^n\) ?
on divise n par 4 et on regarde le reste :
- reste 0 → \(i^n = 1\)
- reste 1 → \(i^n = i\)
- reste 2 → \(i^n = -1\)
- reste 3 → \(i^n = -i\)
Exemple : \(i^{23} = ?\)
\(23 \div 4 = 5\) reste \(3\)
par conséquent : \(i^{23} = i^3 = -i\)
📐 Qu'est-ce qu'un nombre complexe ?
\(z = a + bi\)
| \(z\) | le nombre complexe |
| \(a\) | la partie réelle (Real part) - notée \(\text{Re}(z)\) |
| \(b\) | la partie imaginaire (Imaginary part) - notée \(\text{Im}(z)\) |
| \(i\) | l'unité imaginaire (\(i^2 = -1\)) |
Exemples :
| \(z = 3 + 2i\) | → \(a = 3, \, b = 2\) |
| \(z = -1 + 4i\) | → \(a = -1, \, b = 4\) |
| \(z = 5 - 3i\) | → \(a = 5, \, b = -3\) |
| \(z = 7\) | → \(a = 7, \, b = 0\) (nombre réel !) |
| \(z = 4i\) | → \(a = 0, \, b = 4\) (imaginaire pur) |
⚖️ Égalité de nombres complexes
deux nombres complexes sont égaux si et seulement si :
\(a + bi = c + di \iff a = c \text{ et } b = d\)
💡 En mots : les parties réelles sont égales et les parties imaginaires aussi.
Exemple : trouver x et y si \(2x + 3yi = 6 - 9i\)
on égalise les parties réelles : \(2x = 6 \implies x = 3\)
on égalise les parties imaginaires : \(3y = -9 \implies y = -3\)
➕ Addition et soustraction
\((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
\((a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
💡 La règle : on additionne/soustrait les parties réelles séparément et les parties imaginaires séparément.
Exemples :
\((3 + 2i) + (1 + 4i) = (3+1) + (2+4)i = 4 + 6i\)
\((5 - 3i) - (2 + i) = (5-2) + (-3-1)i = 3 - 4i\)
\((7 + 2i) + (-7 + 3i) = 0 + 5i = 5i\)
✖️ Multiplication
\((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
💡 Comment s'en souvenir ? on développe les parenthèses comme d'habitude et on utilise \(i^2 = -1\) :
\((a + bi)(c + di)\)
\(= ac + adi + bci + bdi^2\)
\(= ac + adi + bci + bd(-1)\)
\(= (ac - bd) + (ad + bc)i\)
Exemple : \((2 + 3i)(4 - i)\)
\(= 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)\)
\(= 8 - 2i + 12i - 3i^2\)
\(= 8 - 2i + 12i - 3(-1)\)
\(= 8 + 3 + (-2 + 12)i\)
\(= 11 + 10i\)
🪞 Conjugué (Conjugate)
si \(z = a + bi\), alors son conjugué est :
\(\bar{z} = a - bi\)
💡 En mots : on change uniquement le signe de la partie imaginaire !
Exemples :
| \(z = 3 + 2i\) | → | \(\bar{z} = 3 - 2i\) |
| \(z = 5 - 4i\) | → | \(\bar{z} = 5 + 4i\) |
| \(z = -2i\) | → | \(\bar{z} = 2i\) |
| \(z = 7\) | → | \(\bar{z} = 7\) (un réel est son propre conjugué) |
⭐ Propriété importante :
\(z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\)
(toujours un réel positif ou nul !)
Démonstration :
\((a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2\)
➗ Division
pour diviser, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :
\(\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}\)
Exemple : \(\frac{3 + 2i}{1 - i}\)
Étape 1 : multiplier par le conjugué du dénominateur (\(1 + i\))
\(\frac{3 + 2i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}\)
Étape 2 : calculer le dénominateur
\((1 - i)(1 + i) = 1^2 + 1^2 = 2\)
Étape 3 : calculer le numérateur
\((3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i^2 = 3 + 5i - 2 = 1 + 5i\)
Étape 4 : diviser
\(\frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i\)
📋 Tableau récapitulatif - opérations de base
| opération | formule |
|---|---|
| addition | \((a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i\) |
| soustraction | \((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\) |
| multiplication | \((a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i\) |
| conjugué | \(\overline{a+bi} = a - bi\) |
| \(z \cdot \bar{z}\) | \(a^2 + b^2\) |
| division | multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur |
💡 Conseils pour l'examen
1️⃣ Puissances de i
périodicité 4 : diviser par 4 et regarder le reste
2️⃣ Multiplication
développer les parenthèses comme d'habitude, en se rappelant \(i^2 = -1\)
3️⃣ Division
toujours multiplier par le conjugué du dénominateur !
4️⃣ Égalité
égaliser réel avec réel, imaginaire avec imaginaire
📝 Résumé Partie 1
\(z = a + bi\)
\(i^2 = -1\)
\(\bar{z} = a - bi\)
dans la prochaine partie : module, représentation graphique et plan complexe