Números complejos - Parte 3
Ecuaciones de segundo grado y polinomios
🔢 Raíz cuadrada de un número negativo
\(\sqrt{-a} = \sqrt{a} \cdot i\)
(cuando \(a > 0\))
Ejemplos:
\(\sqrt{-4} = \sqrt{4} \cdot i = 2i\)
\(\sqrt{-9} = \sqrt{9} \cdot i = 3i\)
\(\sqrt{-5} = \sqrt{5} \cdot i\)
\(\sqrt{-12} = \sqrt{12} \cdot i = 2\sqrt{3} \cdot i\)
⚠️ ¡Cuidado! \(\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} \neq \sqrt{ab}\)
por ejemplo: \(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-2} = i\sqrt{2} \cdot i\sqrt{2} = i^2 \cdot 2 = -2\)
y no: \(\sqrt{(-2)(-2)} = \sqrt{4} = 2\) ❌
📐 Repaso: ecuación de segundo grado
para la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\), las soluciones son:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
El discriminante: \(\Delta = b^2 - 4ac\)
| \(\Delta > 0\) | dos soluciones reales distintas |
| \(\Delta = 0\) | una solución real (doble) |
| \(\Delta < 0\) | dos soluciones complejas conjugadas |
⭐ Solución cuando Δ < 0
cuando el discriminante es negativo, se usan los números complejos:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\)
💡 Resultado importante:
¡las dos soluciones son siempre números conjugados!
si \(z_1 = a + bi\) es solución, entonces también \(z_2 = a - bi = \bar{z_1}\) es solución.
✏️ Ejemplo 1: ecuación simple
Resolver: \(x^2 + 4 = 0\)
Solución:
\(x^2 = -4\)
\(x = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i\)
Respuesta: \(x = 2i\) o \(x = -2i\)
✏️ Ejemplo 2: con la fórmula
Resolver: \(x^2 - 4x + 13 = 0\)
Solución:
Paso 1: identificar coeficientes
\(a = 1, \, b = -4, \, c = 13\)
Paso 2: calcular el discriminante
\(\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 52 = -36\)
el discriminante es negativo → soluciones complejas
Paso 3: sustituir en la fórmula
\(x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i\)
Respuesta: \(x = 2 + 3i\) o \(x = 2 - 3i\)
💡 Atención: ¡las soluciones son conjugadas entre sí!
✏️ Ejemplo 3: coeficiente principal distinto de 1
Resolver: \(2x^2 + 2x + 5 = 0\)
Solución:
\(a = 2, \, b = 2, \, c = 5\)
\(\Delta = 4 - 40 = -36\)
\(x = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{4} = \frac{-2 \pm 6i}{4} = \frac{-2}{4} \pm \frac{6i}{4}\)
\(x = -\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}i\)
Respuesta: \(x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\) o \(x = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i\)
🔨 Construir ecuación a partir de soluciones complejas
si \(z_1\) y \(z_2\) son soluciones, la ecuación es:
\((x - z_1)(x - z_2) = 0\)
Ejemplo: construir una ecuación cuyas soluciones sean \(z_1 = 1 + 2i\) y \(z_2 = 1 - 2i\)
\((x - (1+2i))(x - (1-2i)) = 0\)
\(((x-1) - 2i)((x-1) + 2i) = 0\)
esto tiene la forma \((A - B)(A + B) = A^2 - B^2\)
\((x-1)^2 - (2i)^2 = 0\)
\((x-1)^2 - 4i^2 = 0\)
\((x-1)^2 + 4 = 0\)
\(x^2 - 2x + 1 + 4 = 0\)
Respuesta: \(x^2 - 2x + 5 = 0\)
📐 Fórmulas de Vieta (¡también en complejos!)
para la ecuación \(x^2 + px + q = 0\) con soluciones \(z_1, z_2\):
\(z_1 + z_2 = -p\)
\(z_1 \cdot z_2 = q\)
💡 Importante:
si las soluciones son conjugadas (\(z_1 = a+bi, z_2 = a-bi\)):
- \(z_1 + z_2 = 2a\) (¡siempre real!)
- \(z_1 \cdot z_2 = a^2 + b^2 = |z_1|^2\) (¡siempre real positivo!)
🔗 Factorización de polinomios
si \(z_1, z_2\) son raíces de \(ax^2 + bx + c\), entonces:
\(ax^2 + bx + c = a(x - z_1)(x - z_2)\)
Ejemplo: factorizar \(x^2 + 4\)
raíces: \(x^2 = -4 \Rightarrow x = \pm 2i\)
\(x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i)\)
Verificación:
\((x - 2i)(x + 2i) = x^2 - (2i)^2 = x^2 - 4i^2 = x^2 + 4\) ✓
✏️ Ejemplo 4: factorización
Factorizar: \(x^2 - 6x + 13\)
Solución:
Paso 1: hallar raíces
\(\Delta = 36 - 52 = -16\)
\(x = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i\)
Paso 2: escribir la factorización
\(x^2 - 6x + 13 = (x - (3+2i))(x - (3-2i))\)
Respuesta: \((x - 3 - 2i)(x - 3 + 2i)\)
📋 Tabla resumen - Parte 3
| tema | fórmula / regla |
|---|---|
| raíz negativa | \(\sqrt{-a} = i\sqrt{a}\) |
| Δ < 0 | soluciones complejas conjugadas |
| suma de raíces | \(z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}\) |
| producto de raíces | \(z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a}\) |
| factorización | \(a(x-z_1)(x-z_2)\) |
💡 Consejos para el examen
1️⃣ Δ negativa
¡no entrar en pánico! soluciones complejas conjugadas
2️⃣ Conjugadas
si \(a+bi\) es solución, también \(a-bi\)
3️⃣ Verificación
sustituir y comprobar que se obtiene 0
4️⃣ Raíz negativa
\(\sqrt{-a} = i\sqrt{a}\) ¡no confundirse!
📝 Resumen Parte 3
ecuación de segundo grado con \(\Delta < 0\) → soluciones complejas conjugadas
\(\sqrt{-a} = i\sqrt{a}\)
¡esta es la base de los números complejos!