\(\sqrt{-a} = \sqrt{a} \cdot i\)

(حيث \(a > 0\))

أمثلة:

\(\sqrt{-4} = \sqrt{4} \cdot i = 2i\)

\(\sqrt{-9} = \sqrt{9} \cdot i = 3i\)

\(\sqrt{-5} = \sqrt{5} \cdot i\)

\(\sqrt{-12} = \sqrt{12} \cdot i = 2\sqrt{3} \cdot i\)

⚠️ تحذير! \(\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} \neq \sqrt{ab}\)

مثلاً: \(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-2} = i\sqrt{2} \cdot i\sqrt{2} = i^2 \cdot 2 = -2\)

وليس: \(\sqrt{(-2)(-2)} = \sqrt{4} = 2\) ❌

للمعادلة \(ax^2 + bx + c = 0\)، الحلول هي:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

المميز: \(\Delta = b^2 - 4ac\)

عندما يكون المميز سالباً، نستخدم الأعداد المركبة:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\)

💡 نتيجة مهمة:

الحلان دائماً عددان مترافقان!

إذا كان \(z_1 = a + bi\) حلاً، فإن \(z_2 = a - bi = \bar{z_1}\) حلاً أيضاً.

حلّ: \(x^2 + 4 = 0\)

الحل:

الإجابة: \(x = 2i\) أو \(x = -2i\)

حلّ: \(x^2 - 4x + 13 = 0\)

الحل:

الإجابة: \(x = 2 + 3i\) أو \(x = 2 - 3i\)

💡 انتبه: الحلان مترافقان مع بعضهما!

حلّ: \(2x^2 + 2x + 5 = 0\)

الحل:

الإجابة: \(x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\) أو \(x = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i\)

إذا كان \(z_1\) و\(z_2\) حلَّين، فالمعادلة هي:

\((x - z_1)(x - z_2) = 0\)

مثال: ابنِ معادلة حلولها \(z_1 = 1 + 2i\) و\(z_2 = 1 - 2i\)

الإجابة: \(x^2 - 2x + 5 = 0\)

للمعادلة \(x^2 + px + q = 0\) مع الحلين \(z_1, z_2\):

\(z_1 + z_2 = -p\)

\(z_1 \cdot z_2 = q\)

💡 مهم:

إذا كانت الحلول مترافقة (\(z_1 = a+bi, z_2 = a-bi\)):

• \(z_1 + z_2 = 2a\) (دائماً حقيقي!)
• \(z_1 \cdot z_2 = a^2 + b^2 = |z_1|^2\) (دائماً حقيقي موجب!)

إذا كان \(z_1, z_2\) جذري \(ax^2 + bx + c\)، فإن:

\(ax^2 + bx + c = a(x - z_1)(x - z_2)\)

مثال: حلّل إلى عوامل \(x^2 + 4\)

التحقق:

\((x - 2i)(x + 2i) = x^2 - (2i)^2 = x^2 - 4i^2 = x^2 + 4\) ✓

حلّل إلى عوامل: \(x^2 - 6x + 13\)

الحل:

الإجابة: \((x - 3 - 2i)(x - 3 + 2i)\)

هذا أساس الأعداد المركبة!