复数 - 第三部分
二次方程与多项式
🔢 负数的平方根
\(\sqrt{-a} = \sqrt{a} \cdot i\)
(其中 \(a > 0\))
例题:
\(\sqrt{-4} = \sqrt{4} \cdot i = 2i\)
\(\sqrt{-9} = \sqrt{9} \cdot i = 3i\)
\(\sqrt{-5} = \sqrt{5} \cdot i\)
\(\sqrt{-12} = \sqrt{12} \cdot i = 2\sqrt{3} \cdot i\)
⚠️ 注意!\(\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} \neq \sqrt{ab}\)
例如:\(\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-2} = i\sqrt{2} \cdot i\sqrt{2} = i^2 \cdot 2 = -2\)
而不是:\(\sqrt{(-2)(-2)} = \sqrt{4} = 2\) ❌
📐 复习:二次方程
对方程 \(ax^2 + bx + c = 0\),解为:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
判别式:\(\Delta = b^2 - 4ac\)
| \(\Delta > 0\) | 两个不同的实数解 |
| \(\Delta = 0\) | 一个实数解(重根) |
| \(\Delta < 0\) | 两个共轭复数解 |
⭐ 当 Δ < 0 时的解
当判别式为负时,使用复数:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\)
💡 重要结论:
两个解总是共轭复数!
若 \(z_1 = a + bi\) 是解,那么 \(z_2 = a - bi = \bar{z_1}\) 也是解。
✏️ 例 1:简单方程
解:\(x^2 + 4 = 0\)
解答:
\(x^2 = -4\)
\(x = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i\)
答案:\(x = 2i\) 或 \(x = -2i\)
✏️ 例 2:运用公式
解:\(x^2 - 4x + 13 = 0\)
解答:
步骤 1:识别系数
\(a = 1, \, b = -4, \, c = 13\)
步骤 2:计算判别式
\(\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 52 = -36\)
判别式为负 → 复数解
步骤 3:代入公式
\(x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i\)
答案:\(x = 2 + 3i\) 或 \(x = 2 - 3i\)
💡 注意:两个解互为共轭!
✏️ 例 3:首项系数不为 1
解:\(2x^2 + 2x + 5 = 0\)
解答:
\(a = 2, \, b = 2, \, c = 5\)
\(\Delta = 4 - 40 = -36\)
\(x = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{4} = \frac{-2 \pm 6i}{4} = \frac{-2}{4} \pm \frac{6i}{4}\)
\(x = -\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}i\)
答案:\(x = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\) 或 \(x = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2}i\)
🔨 由复数解构造方程
若 \(z_1\) 与 \(z_2\) 是解,则方程为:
\((x - z_1)(x - z_2) = 0\)
例:构造解为 \(z_1 = 1 + 2i\) 与 \(z_2 = 1 - 2i\) 的方程
\((x - (1+2i))(x - (1-2i)) = 0\)
\(((x-1) - 2i)((x-1) + 2i) = 0\)
这是 \((A - B)(A + B) = A^2 - B^2\) 的形式
\((x-1)^2 - (2i)^2 = 0\)
\((x-1)^2 - 4i^2 = 0\)
\((x-1)^2 + 4 = 0\)
\(x^2 - 2x + 1 + 4 = 0\)
答案:\(x^2 - 2x + 5 = 0\)
📐 韦达定理(在复数中也成立!)
对方程 \(x^2 + px + q = 0\),设解为 \(z_1, z_2\):
\(z_1 + z_2 = -p\)
\(z_1 \cdot z_2 = q\)
💡 重要:
若两解互为共轭(\(z_1 = a+bi, z_2 = a-bi\)):
- \(z_1 + z_2 = 2a\)(始终为实数!)
- \(z_1 \cdot z_2 = a^2 + b^2 = |z_1|^2\)(始终为正实数!)
🔗 多项式因式分解
若 \(z_1, z_2\) 是 \(ax^2 + bx + c\) 的根,则:
\(ax^2 + bx + c = a(x - z_1)(x - z_2)\)
例:因式分解 \(x^2 + 4\)
求根:\(x^2 = -4 \Rightarrow x = \pm 2i\)
\(x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i)\)
验证:
\((x - 2i)(x + 2i) = x^2 - (2i)^2 = x^2 - 4i^2 = x^2 + 4\) ✓
✏️ 例 4:因式分解
因式分解:\(x^2 - 6x + 13\)
解答:
步骤 1:求根
\(\Delta = 36 - 52 = -16\)
\(x = \frac{6 \pm 4i}{2} = 3 \pm 2i\)
步骤 2:写出因式分解
\(x^2 - 6x + 13 = (x - (3+2i))(x - (3-2i))\)
答案:\((x - 3 - 2i)(x - 3 + 2i)\)
📋 总结表 - 第三部分
| 主题 | 公式 / 规则 |
|---|---|
| 负数平方根 | \(\sqrt{-a} = i\sqrt{a}\) |
| Δ < 0 | 两个共轭复数解 |
| 根之和 | \(z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}\) |
| 根之积 | \(z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a}\) |
| 因式分解 | \(a(x-z_1)(x-z_2)\) |
💡 考试提示
1️⃣ Δ 为负
不要慌!共轭复数解
2️⃣ 共轭根
若 \(a+bi\) 是解,\(a-bi\) 也是解
3️⃣ 验证
代回原方程,确认结果为 0
4️⃣ 负数平方根
\(\sqrt{-a} = i\sqrt{a}\) 不要弄错!
📝 第三部分总结
二次方程 \(\Delta < 0\) → 共轭复数解
\(\sqrt{-a} = i\sqrt{a}\)
这是复数的基础!