∫ Integral indefinida
La operación inversa a la derivación - conceptos básicos
🎯 ¿Qué es una integral?
La integral es la operación inversa a la derivación.
Si la derivación responde a la pregunta "¿cuál es la tasa de cambio?", la integral responde a la pregunta "¿de qué función provenimos?"
Derivación: \(F(x) \xrightarrow{\text{derivada}} f(x)\)
Integración: \(f(x) \xrightarrow{\text{integral}} F(x)\)
📖 Definición: primitiva
\(F(x)\) se llama primitiva (o antiderivada) de \(f(x)\) si:
\(F'(x) = f(x)\)
💡 Ejemplo:
\(F(x) = x^3\) es una primitiva de \(f(x) = 3x^2\)
porque: \((x^3)' = 3x^2\) ✓
⚠️ Constante de integración (C)
¡toda función tiene infinitas primitivas que se diferencian entre sí por una constante!
Ejemplo: las primitivas de \(f(x) = 2x\):
todas tienen derivada \(2x\) porque la derivada de una constante es 0
¡por eso siempre se añade \(+C\) al final!
✍️ Notación de la integral
\(\int f(x) \, dx = F(x) + C\)
| \(\int\) | símbolo de la integral |
| \(f(x)\) | la función que se quiere integrar (el integrando) |
| \(dx\) | indica que la variable es x |
| \(F(x)\) | la primitiva |
| \(C\) | la constante de integración |
📐 Fórmulas básicas de integración
1️⃣ Integral de una potencia (¡fórmula central!)
\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
(donde \(n \neq -1\))
💡 Para recordar: "se sube el exponente en 1 y se divide por el nuevo exponente"
Ejemplos:
| \(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C\) | \(\int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6} + C\) |
| \(\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C\) | \(\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C\) |
2️⃣ Integral de una constante
\(\int a \, dx = ax + C\)
Ejemplos:
\(\int 5 \, dx = 5x + C\)
\(\int (-3) \, dx = -3x + C\)
3️⃣ Integral de \(\frac{1}{x}\)
\(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)
⚠️ Atención: ¡este es el caso especial \(n = -1\) en el que la fórmula de la potencia no funciona!
(porque no se puede dividir por 0)
4️⃣ Integral de \(e^x\)
\(\int e^x \, dx = e^x + C\)
💡 Especial: \(e^x\) ¡es la única función que es a la vez su propia derivada y su propia primitiva!
5️⃣ Integral de \(a^x\)
\(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
Ejemplo: \(\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C\)
📏 Reglas de cálculo (linealidad)
Regla 1: factor constante
\(\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx\)
Ejemplo: \(\int 5x^2 \, dx = 5 \int x^2 \, dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{5x^3}{3} + C\)
Regla 2: integral de una suma/resta
\(\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx\)
Ejemplo: \(\int (x^2 + 3x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 3x \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C\)
✏️ Ejemplos detallados
Ejemplo 1: polinomio
Calcular: \(\int (3x^2 - 4x + 7) \, dx\)
Solución:
\(= \int 3x^2 \, dx - \int 4x \, dx + \int 7 \, dx\)
\(= 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C\)
\(= x^3 - 2x^2 + 7x + C\)
Comprobación: \((x^3 - 2x^2 + 7x)' = 3x^2 - 4x + 7\) ✓
Ejemplo 2: fracciones y exponentes negativos
Calcular: \(\int \frac{3}{x^2} \, dx\)
Solución:
Escribimos como exponente negativo: \(\int 3x^{-2} \, dx\)
\(= 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C\)
\(= -3x^{-1} + C = -\frac{3}{x} + C\)
Ejemplo 3: raíces
Calcular: \(\int \sqrt[3]{x} \, dx\)
Solución:
Escribimos como exponente fraccionario: \(\int x^{\frac{1}{3}} \, dx\)
\(= \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C\)
\(= \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4} + C\)
Ejemplo 4: desarrollar paréntesis
Calcular: \(\int (x+2)^2 \, dx\)
Solución:
Desarrollamos paréntesis: \((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\)
\(\int (x^2 + 4x + 4) \, dx\)
\(= \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x + C\)
📋 Tabla de integrales básicas
| \(f(x)\) | \(\int f(x) \, dx\) |
|---|---|
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) |
| \(a^x\) | \(\frac{a^x}{\ln a} + C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) |
| \(\frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x + C\) |
🔍 Encontrar la constante de integración (C)
Para encontrar C, se necesita una condición inicial - un punto por el que pasa la función.
Ejemplo:
encontrar F(x) tal que \(F'(x) = 2x\) y \(F(3) = 10\).
Solución:
Paso 1: calculamos la integral general:
\(F(x) = \int 2x \, dx = x^2 + C\)
Paso 2: sustituimos la condición inicial \(F(3) = 10\):
\(3^2 + C = 10\)
\(9 + C = 10\)
\(C = 1\)
Respuesta: \(F(x) = x^2 + 1\)
💡 Consejos para el examen
1️⃣ Siempre +C
¡en la integral indefinida siempre hay que añadir la constante!
2️⃣ Comprobar derivando
siempre se puede derivar el resultado y comprobar si se obtiene la función original
3️⃣ Fracciones y raíces
convertir a potencias antes de integrar: \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\), \(\sqrt{x} = x^{0.5}\)
4️⃣ Desarrollar paréntesis
a veces conviene desarrollar una expresión como \((x+1)^2\) antes de integrar
📝 Resumen
\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
\(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)
\(\int e^x \, dx = e^x + C\)
integral = la operación inversa a la derivada
recordar siempre: +C