∫ 不定积分
求导的逆运算 - 基本概念
🎯 什么是积分?
积分是求导的逆运算。
如果说求导回答的问题是 "变化率是多少?",那么积分回答的问题是 "原来的函数是什么?"
求导:\(F(x) \xrightarrow{\text{求导}} f(x)\)
积分:\(f(x) \xrightarrow{\text{积分}} F(x)\)
📖 定义:原函数
\(F(x)\) 称为 \(f(x)\) 的原函数(或反导数),如果:
\(F'(x) = f(x)\)
💡 例:
\(F(x) = x^3\) 是 \(f(x) = 3x^2\) 的原函数
因为:\((x^3)' = 3x^2\) ✓
⚠️ 积分常数(C)
每个函数都有无穷多个原函数,它们之间相差一个常数!
例:函数 \(f(x) = 2x\) 的原函数:
它们的导数都是 \(2x\),因为常数的导数等于 0
因此末尾要始终加上 \(+C\)!
✍️ 积分符号
\(\int f(x) \, dx = F(x) + C\)
| \(\int\) | 积分号 |
| \(f(x)\) | 要积分的函数(被积函数) |
| \(dx\) | 表示变量是 x |
| \(F(x)\) | 原函数 |
| \(C\) | 积分常数 |
📐 基本积分公式
1️⃣ 幂函数的积分(核心公式!)
\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
(其中 \(n \neq -1\))
💡 记忆口诀:"指数加 1,再除以新指数"
例:
| \(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C\) | \(\int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6} + C\) |
| \(\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C\) | \(\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C\) |
2️⃣ 常数的积分
\(\int a \, dx = ax + C\)
例:
\(\int 5 \, dx = 5x + C\)
\(\int (-3) \, dx = -3x + C\)
3️⃣ \(\frac{1}{x}\) 的积分
\(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)
⚠️ 注意:这是特殊情形 \(n = -1\),幂公式不适用!
(因为不能除以 0)
4️⃣ \(e^x\) 的积分
\(\int e^x \, dx = e^x + C\)
💡 特殊:\(e^x\) 是唯一一个其导数和积分都等于自身的函数!
5️⃣ \(a^x\) 的积分
\(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
例:\(\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C\)
📏 计算法则(线性性)
法则 1:常数提取
\(\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx\)
例:\(\int 5x^2 \, dx = 5 \int x^2 \, dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{5x^3}{3} + C\)
法则 2:和/差的积分
\(\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx\)
例:\(\int (x^2 + 3x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 3x \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C\)
✏️ 详细例题
例 1:多项式
计算:\(\int (3x^2 - 4x + 7) \, dx\)
解答:
\(= \int 3x^2 \, dx - \int 4x \, dx + \int 7 \, dx\)
\(= 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C\)
\(= x^3 - 2x^2 + 7x + C\)
验证:\((x^3 - 2x^2 + 7x)' = 3x^2 - 4x + 7\) ✓
例 2:分数与负指数
计算:\(\int \frac{3}{x^2} \, dx\)
解答:
写为负指数:\(\int 3x^{-2} \, dx\)
\(= 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C\)
\(= -3x^{-1} + C = -\frac{3}{x} + C\)
例 3:根号
计算:\(\int \sqrt[3]{x} \, dx\)
解答:
写为分数指数:\(\int x^{\frac{1}{3}} \, dx\)
\(= \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C\)
\(= \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4} + C\)
例 4:展开括号
计算:\(\int (x+2)^2 \, dx\)
解答:
展开括号:\((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\)
\(\int (x^2 + 4x + 4) \, dx\)
\(= \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x + C\)
📋 基本积分公式表
| \(f(x)\) | \(\int f(x) \, dx\) |
|---|---|
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) |
| \(a^x\) | \(\frac{a^x}{\ln a} + C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) |
| \(\frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x + C\) |
🔍 求积分常数(C)
为了求 C,需要初始条件 - 函数经过的一个点。
例:
求 F(x) 使得 \(F'(x) = 2x\) 且 \(F(3) = 10\)。
解答:
步骤 1:求一般积分:
\(F(x) = \int 2x \, dx = x^2 + C\)
步骤 2:代入初始条件 \(F(3) = 10\):
\(3^2 + C = 10\)
\(9 + C = 10\)
\(C = 1\)
答案:\(F(x) = x^2 + 1\)
💡 考试提示
1️⃣ 始终加 +C
不定积分必须始终加上常数!
2️⃣ 求导验证
总是可以对结果求导,看是否得到原函数
3️⃣ 分数与根号
积分前转换为幂:\(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\),\(\sqrt{x} = x^{0.5}\)
4️⃣ 展开括号
有时积分前先展开 \((x+1)^2\) 这类表达式更好
📝 总结
\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
\(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)
\(\int e^x \, dx = e^x + C\)
积分 = 求导的逆运算
始终记住:+C