∫ التكامل غير المحدود
العملية العكسية للاشتقاق – مفاهيم أساسية
🎯 ما هو التكامل؟
التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق.
إذا كان الاشتقاق يجيب على "ما معدل التغير؟"، فالتكامل يجيب على "من أي دالة وصلنا؟"
الاشتقاق: \(F(x) \xrightarrow{\text{المشتقة}} f(x)\)
التكامل: \(f(x) \xrightarrow{\text{التكامل}} F(x)\)
📖 التعريف: الدالة الأصلية (مضاد المشتقة)
\(F(x)\) تُسمى الدالة الأصلية (مضاد المشتقة) لـ \(f(x)\) إذا:
\(F'(x) = f(x)\)
💡 مثال:
\(F(x) = x^3\) هي الدالة الأصلية لـ \(f(x) = 3x^2\)
لأن: \((x^3)' = 3x^2\) ✓
⚠️ ثابت التكامل (C)
لكل دالة لا نهاية من الدوال الأصلية تختلف عن بعضها بثابت!
مثال: الدوال الأصلية لـ \(f(x) = 2x\):
كلها تُشتق إلى \(2x\) لأن مشتقة الثابت تساوي 0
لذلك دائماً نضيف \(+C\) في النهاية!
✍️ رمز التكامل
\(\int f(x) \, dx = F(x) + C\)
| \(\int\) | رمز التكامل |
| \(f(x)\) | الدالة المراد تكاملها (المُتكامَل) |
| \(dx\) | يشير إلى أن المتغير هو x |
| \(F(x)\) | الدالة الأصلية |
| \(C\) | ثابت التكامل |
📐 صيغ التكامل الأساسية
1️⃣ تكامل الأس (الصيغة الأساسية!)
\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
(حيث \(n \neq -1\))
💡 تذكّر: "نرفع الأس بمقدار 1، ونقسم على الأس الجديد"
أمثلة:
| \(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C\) | \(\int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6} + C\) |
| \(\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C\) | \(\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C\) |
2️⃣ تكامل ثابت
\(\int a \, dx = ax + C\)
أمثلة:
\(\int 5 \, dx = 5x + C\)
\(\int (-3) \, dx = -3x + C\)
3️⃣ تكامل \(\frac{1}{x}\)
\(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)
⚠️ انتبه: هذه الحالة الخاصة \(n = -1\) التي لا تنطبق عليها صيغة الأس!
(لأنه لا يمكن القسمة على 0)
4️⃣ تكامل \(e^x\)
\(\int e^x \, dx = e^x + C\)
💡 مميّز: \(e^x\) هي الدالة الوحيدة التي تساوي مشتقتها وتكاملها معاً!
5️⃣ تكامل \(a^x\)
\(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
مثال: \(\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C\)
📏 قواعد الحساب (الخطية)
القاعدة 1: إخراج الثابت
\(\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx\)
مثال: \(\int 5x^2 \, dx = 5 \int x^2 \, dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{5x^3}{3} + C\)
القاعدة 2: تكامل المجموع/الفرق
\(\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx\)
مثال: \(\int (x^2 + 3x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 3x \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C\)
✏️ أمثلة مفصّلة
مثال 1: كثيرة الحدود
احسب: \(\int (3x^2 - 4x + 7) \, dx\)
الحل:
\(= \int 3x^2 \, dx - \int 4x \, dx + \int 7 \, dx\)
\(= 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C\)
\(= x^3 - 2x^2 + 7x + C\)
التحقق: \((x^3 - 2x^2 + 7x)' = 3x^2 - 4x + 7\) ✓
مثال 2: الكسور والأسس السالبة
احسب: \(\int \frac{3}{x^2} \, dx\)
الحل:
نكتبها كأس سالب: \(\int 3x^{-2} \, dx\)
\(= 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C\)
\(= -3x^{-1} + C = -\frac{3}{x} + C\)
مثال 3: الجذور
احسب: \(\int \sqrt[3]{x} \, dx\)
الحل:
نكتبها كأس كسري: \(\int x^{\frac{1}{3}} \, dx\)
\(= \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C\)
\(= \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^4} + C\)
مثال 4: فتح الأقواس
احسب: \(\int (x+2)^2 \, dx\)
الحل:
نفتح الأقواس: \((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\)
\(\int (x^2 + 4x + 4) \, dx\)
\(= \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x + C\)
📋 جدول التكاملات الأساسية
| \(f(x)\) | \(\int f(x) \, dx\) |
|---|---|
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) |
| \(a^x\) | \(\frac{a^x}{\ln a} + C\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) |
| \(\frac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x + C\) |
🔍 إيجاد ثابت التكامل (C)
لإيجاد C، نحتاج شرطاً ابتدائياً — نقطة تمر عبرها الدالة.
مثال:
أوجدوا F(x) بحيث \(F'(x) = 2x\) و-\(F(3) = 10\).
الحل:
الخطوة 1: نجد التكامل العام:
\(F(x) = \int 2x \, dx = x^2 + C\)
الخطوة 2: نعوّض الشرط الابتدائي \(F(3) = 10\):
\(3^2 + C = 10\)
\(9 + C = 10\)
\(C = 1\)
الإجابة: \(F(x) = x^2 + 1\)
💡 نصائح للاختبار
1️⃣ دائماً +C
في التكامل غير المحدود أضف الثابت دائماً!
2️⃣ تحقق بالاشتقاق
يمكنك دائماً اشتقاق النتيجة للتحقق من الحصول على الدالة الأصلية
3️⃣ الكسور والجذور
حوّلها لأسس قبل التكامل: \(\frac{1}{x^2} = x^{-2}\), \(\sqrt{x} = x^{0.5}\)
4️⃣ افتح الأقواس
أحياناً يُفضّل فتح تعبير مثل \((x+1)^2\) قبل التكامل
📝 ملخص
\(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
\(\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\)
\(\int e^x \, dx = e^x + C\)
التكامل = العملية العكسية للمشتقة
تذكّر دائماً: +C