Suma y resta de fracciones

Suma y resta de fracciones

Las fracciones aparecen en nuestra vida todo el tiempo: media pizza, un cuarto de hora, tres octavos de pastel. Cuando queremos saber cuánto hay en total, o cuánto queda, sumamos y restamos fracciones. En esta página aprenderemos cómo hacerlo de forma ordenada y correcta.

Contexto y definiciones básicas

Una fracción tiene dos partes:

  • Numerador — el número de arriba: cuántas partes tenemos.
  • Denominador — el número de abajo: en cuántas partes iguales dividimos el entero.

Para sumar o restar fracciones, el denominador debe ser igual. Una vez que los denominadores son iguales, solo sumamos o restamos los numeradores.

\[ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n} \qquad \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a-b}{n} \]

Cuando los denominadores son diferentes, buscamos el mínimo común denominador (m.c.d.) — el número más pequeño divisible por ambos denominadores — y ampliamos cada fracción según corresponda.

Al final, siempre comprobamos si es posible simplificar: dividimos el numerador y el denominador entre el mismo número hasta obtener la fracción más simple.

Pasos de resolución

  1. Paso 1 — Comprueba si los denominadores son iguales. Si lo son, pasa directamente al paso 3.
  2. Paso 2 — Encuentra el mínimo común denominador (m.c.d.) de los dos denominadores. Amplía cada fracción para que llegue a ese denominador: multiplica el numerador y el denominador por el mismo número.
  3. Paso 3 — Suma o resta solo los numeradores. ¡El denominador no cambia!
  4. Paso 4 — Comprueba si se puede simplificar: busca un divisor común del numerador y el denominador y divide ambos entre él.
  5. Paso 5 — Si el numerador es mayor que el denominador, convierte a número mixto (entero + fracción). Verifica que la respuesta tenga sentido.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Suma de fracciones con igual denominador

Enunciado: Calcula: \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} \)

Solución:

  1. Los denominadores son iguales — ambos son 7. Sumamos solo los numeradores.
  2. \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7} \)
  3. Comprobamos simplificación: 5 y 7 no tienen divisor común (5 es primo, 7 es primo). No se puede simplificar.

Respuesta: \( \frac{5}{7} \)

Ejemplo 2: Resta de fracciones con igual denominador

Enunciado: Calcula: \( \frac{5}{9} - \frac{2}{9} \)

Solución:

  1. Los denominadores son iguales — 9. Restamos los numeradores.
  2. \( \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} \)
  3. Simplificamos: 3 y 9 se dividen entre 3. \( \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3} \)

Respuesta: \( \frac{1}{3} \)

Ejemplo 3: Suma de fracciones con diferente denominador

Enunciado: Calcula: \( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \)

Solución:

  1. Los denominadores son diferentes: 4 y 6. Buscamos el m.c.d. Múltiplos de 4: 4, 8, 12... Múltiplos de 6: 6, 12... El m.c.d. es 12.
  2. Ampliamos: \( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \), \( \frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} \)
  3. Sumamos: \( \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \)
  4. 5 y 12 no tienen divisor común — la fracción ya es simple.

Respuesta: \( \frac{5}{12} \)

Ejemplo 4: Resta de fracciones con diferente denominador

Enunciado: Calcula: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \)

Solución:

  1. M.c.d. de 4 y 3: múltiplos de 4: 4, 8, 12. Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12. El m.c.d. = 12.
  2. Ampliamos: \( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \), \( \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \)
  3. \( \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \)
  4. 5 y 12 no tienen divisor común — la respuesta es definitiva.

Respuesta: \( \frac{5}{12} \)

Ejemplo 5: Suma de tres fracciones con diferente denominador

Enunciado: Calcula: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \)

Solución:

  1. M.c.d. de 2, 3 y 6: 6.
  2. \( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \), \( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \), \( \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \)
  3. \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
  4. El numerador es igual al denominador — ¡es un entero completo!

Respuesta: \( 1 \) (un entero)

Errores comunes

✗ Error común: Suman también los denominadores: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \)

✓ La forma correcta: ¡El denominador no se suma! Cuando los denominadores son iguales, se quedan igual. Lo correcto: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \). Piénsalo así: dos trozos de un tercio juntos son dos tercios, no un sexto.

✗ Error común: Olvidan buscar el denominador común y suman directamente: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \)

✓ La forma correcta: No se pueden sumar fracciones con diferente denominador directamente. Primero hay que ampliarlas al mismo denominador. Lo correcto: \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \).

✗ Error común: Olvidan simplificar al final: se quedan con \( \frac{4}{8} \) en lugar de \( \frac{1}{2} \)

✓ La forma correcta: Siempre hay que comprobar al final: ¿el numerador y el denominador se dividen entre el mismo número? Si es así, ¡hay que dividir! La respuesta más simple es la correcta.

Consejos de práctica

  • Consejo — Para encontrar el m.c.d. rápido: escribe los múltiplos del número mayor (×2, ×3, ×4…) y comprueba cuándo el número menor también lo divide.
  • Consejo — Después de sumar o restar, comprueba con lógica: ¿tiene sentido la respuesta? Dos mitades juntas forman un entero, ¿obtuviste 1?
  • Consejo — Al ampliar una fracción: lo que hagas con el denominador, debes hacerlo también con el numerador. ¿Multiplicaste el denominador por 3? Multiplica también el numerador por 3.
  • Consejo — Para simplificar: busca un número que divida tanto al numerador como al denominador. Empieza por 2, luego 3, luego 5…

Resumen y fórmulas clave

  • Cuando los denominadores son iguales: \( \frac{a}{n} \pm \frac{b}{n} = \frac{a \pm b}{n} \)
  • Cuando los denominadores son diferentes: buscamos el m.c.d., ampliamos y luego sumamos o restamos los numeradores.
  • Al final — simplificar siempre que sea posible.
  • Si el numerador es mayor que el denominador, se puede escribir como número mixto.