الكسر مكوّن من جزأين:

• البسط — العدد في الأعلى، وهو عدد الأجزاء التي لدينا.
• المقام — العدد في الأسفل، وهو عدد الأجزاء المتساوية التي قُسِّم إليها الكلّ.

لجمع الكسور أو طرحها، يجب أن يكون المقام واحدًا. بعد أن تتساوى المقامات — نجمع أو نطرح البسطَين فقط.

\[ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a+b}{n} \qquad \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a-b}{n} \]

حين تكون المقامات مختلفة، نبحث عن المقام المشترك الأصغر (م.م.أ) — أصغر عدد يقبل القسمة على المقامَين — ثم نوسّع كل كسر وفق ذلك.

في النهاية نتحقق دائمًا من إمكانية التبسيط: نقسم البسط والمقام على العدد نفسه حتى نصل إلى أبسط صورة.

مثال 1: جمع كسور بمقامات متساوية

السؤال: احسب: \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} \)

الحل:

1. المقامان متساويان — كلاهما 7. نجمع البسطَين فقط.
2. \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7} \)
3. نتحقق من التبسيط: 5 و7 ليس لهما قاسم مشترك (5 أوّلي، 7 أوّلي). لا يمكن التبسيط.

الإجابة: \( \frac{5}{7} \)

مثال 2: طرح كسور بمقامات متساوية

السؤال: احسب: \( \frac{5}{9} - \frac{2}{9} \)

الحل:

1. المقامان متساويان — 9. نطرح البسطَين.
2. \( \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} \)
3. نبسّط: 3 و9 يقبلان القسمة على 3. \( \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3} \)

الإجابة: \( \frac{1}{3} \)

مثال 3: جمع كسور بمقامات مختلفة

السؤال: احسب: \( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \)

الحل:

1. المقامان مختلفان: 4 و6. نبحث عن م.م.أ. مضاعفات 4: 4، 8، 12... مضاعفات 6: 6، 12... م.م.أ = 12.
2. نوسّع: \( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \)، \( \frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} \)
3. نجمع: \( \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12} \)
4. 5 و12 ليس لهما قاسم مشترك — الكسر في أبسط صورته.

الإجابة: \( \frac{5}{12} \)

مثال 4: طرح كسور بمقامات مختلفة

السؤال: احسب: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \)

الحل:

1. م.م.أ لـ 4 و3: مضاعفات 4: 4، 8، 12. مضاعفات 3: 3، 6، 9، 12. م.م.أ = 12.
2. نوسّع: \( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \)، \( \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \)
3. \( \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \)
4. 5 و12 ليس لهما قاسم مشترك — الجواب نهائي.

الإجابة: \( \frac{5}{12} \)

مثال 5: جمع ثلاثة كسور بمقامات مختلفة

السؤال: احسب: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \)

الحل:

1. م.م.أ لـ 2 و3 و6: هو 6.
2. \( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \)، \( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \)، \( \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \)
3. \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
4. البسط يساوي المقام — هذا واحد صحيح كامل!

الإجابة: \( 1 \) (واحد صحيح)

✗ خطأ شائع: جمع المقامَين أيضًا: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \)

✓ الطريقة الصحيحة: المقام لا يُجمَع! حين تتساوى المقامات تبقى كما هي. الصحيح: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \). فكّر هكذا: ثلثا قطعة حلوى معًا يصبحان ثلثَين — لا سدسًا.

✗ خطأ شائع: نسيان إيجاد مقام مشترك والجمع مباشرةً: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \)

✓ الطريقة الصحيحة: لا يمكن جمع كسور بمقامات مختلفة مباشرةً. نوسّع أولًا للمقام نفسه. الصحيح: \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \).

✗ خطأ شائع: نسيان التبسيط في النهاية: إبقاء \( \frac{4}{8} \) بدلًا من \( \frac{1}{2} \)

✓ الطريقة الصحيحة: تحقق دائمًا في النهاية: هل البسط والمقام يقبلان القسمة على عدد واحد؟ إن كان كذلك — قسّمهما! الجواب الأبسط هو الصحيح.

• حين تكون المقامات متساوية: \( \frac{a}{n} \pm \frac{b}{n} = \frac{a \pm b}{n} \)
• حين تكون المقامات مختلفة: نجد م.م.أ، نوسّع، ثم نجمع أو نطرح البسطَين.
• في النهاية — نبسّط دائمًا إن أمكن.
• إن كان البسط أكبر من المقام — يمكن كتابته كعدد مختلط.