Practice Reading Monotonicity from a Graph
Explication étape par étape, exemples résolus et pratique illimitée.
📖 Pré-analyse - monotonie, croissant, décroissant, intervalles
Pré-analyse : comprendre à partir du graphe
Page 2 : monotonie — croissante et décroissante
🎯 Qu'est-ce que la monotonie ?
La monotonie décrit le comportement de la fonction : est-elle croissante ou décroissante ?
Quand on parcourt l'axe des x de gauche à droite, qu'arrive-t-il aux valeurs de y ?
📈 Fonction croissante
Quand x augmente, y augmente aussi
On va à droite ↗ on monte vers le haut
💡 Imagine : gravir une montagne — plus on avance, plus on monte haut !
📝 Définition mathématique :
Si \(x_1 < x_2\) alors \(f(x_1) < f(x_2)\)
📉 Fonction décroissante
Quand x augmente, y diminue
On va à droite ↘ on descend vers le bas
💡 Imagine : descendre un toboggan — plus on avance, plus on descend bas !
📝 Définition mathématique :
Si \(x_1 < x_2\) alors \(f(x_1) > f(x_2)\)
📊 Intervalles de croissance et de décroissance
La plupart des fonctions ne sont pas croissantes ou décroissantes tout le temps — elles ont des intervalles de croissance et des intervalles de décroissance.
✏️ Sur ce graphe :
Décroît : sur l'intervalle \((-\infty, -2)\)
Croît : sur l'intervalle \((-2, 1)\)
Décroît : sur l'intervalle \((1, \infty)\)
⚠️ Important !
Les intervalles de monotonie s'expriment avec des valeurs de x (pas de y !)
🔍 Comment identifier la monotonie sur un graphe ?
💡 L'astuce : imagine que tu marches sur le graphe de gauche à droite
On monte ? 📈
comme gravir une montagne
= fonction croissante
On descend ? 📉
comme descendre une pente
= fonction décroissante
➡️ Fonction constante
Il existe aussi une troisième situation : la fonction ne croît ni ne décroît — elle est constante.
La valeur de y reste la même pour tout x
✏️ Exemple complet
Graphe de \(f(x) = x^2\)
Intervalles de monotonie :
Décroît : sur l'intervalle \((-\infty, 0)\)
Croît : sur l'intervalle \((0, \infty)\)
Point de changement : x = 0 (point minimum)
📝 Bilan
Croissante 📈 = aller à droite et monter
Décroissante 📉 = aller à droite et descendre
Les intervalles de monotonie s'expriment avec des valeurs de x
Points de changement = extrémums (à la page suivante !)
Exemples Résolus
➡️ Fonction constante : quelle est la monotonie de la fonction constante \(f(x)=c\) ?
Afficher la solution
Ni croissante ni décroissante — elle est constante
✓ CorrectCroissante
Décroissante
Croissante et décroissante en même temps
💡 Explication :
➡️ Fonction constante
Fonction constante : \(f(x) = c\)
Pour toute valeur de \(x\), la fonction prend toujours la même valeur.
Quelle est sa monotonie ?
Ni croissante, ni décroissante — elle est constante !
Sa courbe est une droite horizontale ——
Pourquoi pas croissante ?
Parce que \(f(x)\) n'augmente pas : \(f(1) = f(2) = f(3) = c\) — toujours la même valeur.
Pourquoi pas décroissante ?
Pour la même raison : \(f(x)\) ne diminue pas non plus.
📊 Exercice : une fonction est croissante sur \((-\infty, 2)\) et décroissante sur \((2, \infty)\). Que se passe-t-il en \(x=2\) ?
Afficher la solution
Il y a un maximum local
✓ CorrectIl y a un minimum local
La fonction n'est pas définie en ce point
C'est un point d'inflexion
💡 Explication :
Étude de la monotonie
Situation :
Croissante sur \((-\infty, 2)\)
Décroissante sur \((2, \infty)\)
Que se passe-t-il en \(x=2\) ?
1️⃣ Avant \(x=2\) : croissante ↗
2️⃣ En \(x=2\) : point de transition
3️⃣ Après \(x=2\) : décroissante ↘
Conclusion : croissance → décroissance = maximum local ! 🔝
Intuition : la fonction est montée jusqu'à \(x=2\), a atteint son sommet, puis a commencé à redescendre.
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