Practice Reading Monotonicity from a Graph
شرح خطوة بخطوة، أمثلة محلولة، وتمارين غير محدودة.
📖 ما قبل التفاضل: الرسم البياني – الرتابة | الصف 11
ما قبل التفاضل: فهم الرسم البياني
الدرس 2: الرتابة – تزايد وتناقص
🎯 ما هي الرتابة؟
الرتابة تصف سلوك الدالة: هل هي متزايدة أم متناقصة؟
عندما نتحرك على المحور x من اليسار إلى اليمين، ماذا يحدث لقيم y؟
📈 دالة متزايدة
كلما ازداد x، ازداد y أيضاً
نتحرك يميناً ↗ نصعد للأعلى
💡 تخيّل: تسلق جبل – كلما تقدمت، ارتفعت أكثر!
📝 التعريف الرياضي:
إذا \(x_1 < x_2\) إذن \(f(x_1) < f(x_2)\)
📉 دالة متناقصة
كلما ازداد x، نقصت y
نتحرك يميناً ↘ ننزل للأسفل
💡 تخيّل: انزلاق على منزلق – كلما تقدمت، نزلت أكثر!
📝 التعريف الرياضي:
إذا \(x_1 < x_2\) إذن \(f(x_1) > f(x_2)\)
📊 فترات التزايد والتناقص
معظم الدوال لا تتزايد أو تتناقص طوال الوقت – لديها فترات من التزايد وفترات من التناقص.
✏️ في هذا الرسم البياني:
متناقصة: في الفترة \((-\infty, -2)\)
متزايدة: في الفترة \((-2, 1)\)
متناقصة: في الفترة \((1, \infty)\)
⚠️ مهم!
تُكتب فترات التزايد والتناقص وفق قيم x (ليس y!)
🔍 كيف نتعرف على الرتابة من الرسم البياني؟
💡 الحيلة: تخيّل أنك تسير على الرسم البياني من اليسار إلى اليمين
تزايد؟ 📈
كتسلق جبل
= دالة متزايدة
تناقص؟ 📉
كالنزول في منحدر
= دالة متناقصة
➡️ دالة ثابتة
يوجد أيضاً وضع ثالث: الدالة لا تتزايد ولا تتناقص – هي ثابتة.
قيمة y تبقى ثابتة لكل x
✏️ مثال كامل
رسم بياني للـ \(f(x) = x^2\)
فترات الرتابة:
متناقصة: في الفترة \((-\infty, 0)\)
متزايدة: في الفترة \((0, \infty)\)
نقطة التحول: x = 0 (نقطة قيمة صغرى)
📝 الملخص
متزايدة 📈 = نتحرك يميناً ونصعد للأعلى
متناقصة 📉 = نتحرك يميناً وننزل للأسفل
تُكتب فترات الرتابة وفق قيم x
نقاط التحول = نقاط القيمة القصوى (في الدرس التالي!)
أمثلة محلولة
➡️ دالة ثابتة:
ما رتابة الدالة الثابتة \(f(x)=c\)؟
عرض الحل
| ➡️ الدالة الثابتة الدالة الثابتة: \(f(x) = c\) لكل \(x\)، تأخذ \(f(x)\) نفس القيمة! الرتابة؟ لا تتزايد ولا تتناقص! الرسم البياني = خط أفقي —— لماذا لا تتزايد؟ لأن \(f(x)\) لا تكبر \(f(1) = f(2) = f(3) = c\) نفس القيمة! لماذا لا تتناقص؟ لأن \(f(x)\) لا تصغر نفس القيمة أيضاً! |
📊 تمرين:
رسم بياني يتزايد في المجال \((-\infty, 2)\) ويتناقص في المجال \((2, \infty)\). ماذا يحدث عند \(x=2\)؟
عرض الحل
| تحليل الرتابة الوضع: تتزايد: \((-\infty, 2)\) تتناقص: \((2, \infty)\) ماذا يحدث عند \(x=2\)؟ التحليل: 1️⃣ قبل \(x=2\): تتزايد ↗ 2️⃣ عند \(x=2\): نقطة انتقال 3️⃣ بعد \(x=2\): تتناقص ↘ الاستنتاج: تزايد → تناقص هذه نقطة قيمة عظمى محلية! 🔝 المنطق: ازدادت الدالة حتى \(x=2\) وصلت إلى القمة ثم تناقصت → \(x=2\) هي النقطة الأعلى! |
تمرّن الآن
جرّب مسألة — أسئلة غير محدودة وتغذية راجعة فورية.