Loi normale
Score Z (Z-Score) - introduction, formule et signification
🎯 À quoi sert le score Z ?
💡 Le problème : un élève a obtenu 65 à un examen de chimie. Est-ce une bonne ou une mauvaise note ?
La réponse dépend du reste de la classe ! Si la moyenne était de 53, alors 65 est excellent !
🔍 Exemple : Paul a obtenu 65 en chimie et 65 en physique. Dans les deux matières la moyenne était de 53.
A-t-il aussi bien réussi dans les deux matières ?
Chimie organique
Moyenne : 53
Écart-type : 2
Paul se distingue beaucoup !
Physique
Moyenne : 53
Écart-type : 12
Paul va bien, mais ne se distingue pas particulièrement
📌 Conclusion : pour savoir à quel point une valeur se distingue, il faut la comparer à :
- La moyenne de la distribution
- La dispersion (écart-type) de toutes les observations autour de la moyenne
⭐ Formule du score Z
\(Z_x = \frac{x - \bar{x}}{S_x}\)
| \(Z_x\) | Score Z de la valeur x |
| \(x\) | Score brut (la valeur réelle) |
| \(\bar{x}\) | La moyenne de la distribution |
| \(S_x\) | L'écart-type de la distribution |
💡 Signification de la formule :
Le score Z mesure combien d'écarts-types il y a depuis la moyenne
✏️ Calcul du score Z de Paul
Chimie organique
Note de Paul : x = 65
Moyenne : \(\bar{x}\) = 53
Écart-type : S = 2
\(Z = \frac{65-53}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
Paul est à 6 écarts-types de la moyenne !
Physique
Note de Paul : x = 65
Moyenne : \(\bar{x}\) = 53
Écart-type : S = 12
\(Z = \frac{65-53}{12} = \frac{12}{12} = 1\)
Paul n'est qu'à 1 écart-type de la moyenne !
Conclusion : bien que Paul ait obtenu 65 aux deux examens, sa performance en chimie (Z=6) a été bien meilleure qu'en physique (Z=1)
📊 Signification du signe du score Z
| Situation | Signe de Z | Signification |
|---|---|---|
| \(x > \bar{x}\) | Z > 0 | La note est au-dessus de la moyenne |
| \(x = \bar{x}\) | Z = 0 | La note est exactement égale à la moyenne |
| \(x < \bar{x}\) | Z < 0 | La note est en dessous de la moyenne |
💡 Plus la valeur absolue de Z est grande, plus la note est loin de la moyenne !
Z = 3 (très au-dessus de la moyenne), Z = -2.5 (très en dessous de la moyenne)
📌 Propriétés importantes du score Z
1️⃣ Le score Z est un nombre pur - sans unités !
Peu importe qu'il s'agisse de notes, de poids en kg ou de taille en cm - le score Z est un nombre sans unités
2️⃣ La moyenne des scores Z est toujours 0
\(\bar{Z} = 0\)
3️⃣ L'écart-type des scores Z est toujours 1
\(S_Z^2 = 1\)
🔄 Formule inverse - du score Z au score brut
\(x = \bar{x} + Z \cdot S_x\)
✏️ Exemple : dans une distribution de moyenne 80 et d'écart-type 5, quel est le score brut d'un élève avec Z = 1.5 ?
\(x = 80 + 1.5 \cdot 5 = 80 + 7.5 = 87.5\)
🔧 Transformations linéaires et score Z
Une transformation linéaire ne change pas le score Z !
💡 Qu'est-ce qu'une transformation linéaire ?
Addition/soustraction/multiplication/division de toutes les valeurs par une constante fixe
✏️ Exemple : le score Z de Paul en chimie est Z = 6.
Le professeur donne un bonus de 10 points à toutes les notes. Quel sera le nouveau score Z de Paul ?
Le score Z de Paul reste Z = 6 !
Même si on ajoute 10%, on multiplie par 2, etc. - le score Z ne changera pas
⚠️ Quand le score Z change-t-il ?
Quand l'opération ne s'applique pas uniformément à toutes les valeurs (par exemple : ajouter des points seulement aux notes inférieures à 55)
📝 Résumé
\(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
Score Z = nombre d'écarts-types depuis la moyenne
Z > 0 au-dessus de la moyenne | Z = 0 égal à la moyenne | Z < 0 en dessous de la moyenne