التوزيع الطبيعي
الدرجة المعيارية (Z-Score) – المقدمة والصيغة والمعنى
🎯 لماذا نحتاج الدرجة المعيارية؟
💡 المشكلة: حصل طالب على 65 في الكيمياء. هل هذه درجة جيدة أم سيئة؟
الإجابة تعتمد على بقية الصف! إذا كان المتوسط 53، فالدرجة 65 ممتازة!
🔍 مثال: حصل أريك على 65 في الكيمياء وعلى 65 في الفيزياء. المتوسط في كليهما 53.
هل نجاحه متساوٍ في المادتَين؟
الكيمياء العضوية
المتوسط: 53
الانحراف: 2
أريك بارز جداً!
الفيزياء
المتوسط: 53
الانحراف: 12
أريك جيد لكن ليس استثنائياً
📌 الخلاصة: لمعرفة مدى بروز قيمة ما، نقارنها بـ:
- متوسط التوزيع
- الانحراف المعياري حول المتوسط
⭐ صيغة الدرجة المعيارية
\(Z_x = \frac{x - \bar{x}}{S_x}\)
| \(Z_x\) | الدرجة المعيارية للقيمة x |
| \(x\) | الدرجة الخام (الحقيقية) |
| \(\bar{x}\) | متوسط التوزيع |
| \(S_x\) | الانحراف المعياري للتوزيع |
💡 معنى الصيغة:
الدرجة المعيارية تقيس المسافة عن المتوسط بوحدات الانحراف المعياري
✏️ حساب الدرجة المعيارية لأريك
الكيمياء العضوية
x=65 | \(\bar{x}\)=53 | S=2
\(Z = \frac{65-53}{2} = 6\)
أريك بعيد 6 انحرافات معيارية!
الفيزياء
x=65 | \(\bar{x}\)=53 | S=12
\(Z = \frac{65-53}{12} = 1\)
أريك بعيد انحرافاً معيارياً واحداً فقط!
الاستنتاج: رغم أن أريك حصل على 65 في كلتا المادتَين، تفوّقه في الكيمياء (Z=6) أكبر بكثير من تفوقه في الفيزياء (Z=1)
📊 معنى إشارة الدرجة المعيارية
| الحالة | إشارة Z | المعنى |
|---|---|---|
| \(x > \bar{x}\) | Z > 0 | الدرجة فوق المتوسط |
| \(x = \bar{x}\) | Z = 0 | الدرجة مساوية للمتوسط |
| \(x < \bar{x}\) | Z < 0 | الدرجة دون المتوسط |
💡 كلما كانت القيمة المطلقة لـ Z أكبر، كانت الدرجة أبعد عن المتوسط!
📌 خصائص مهمة للدرجة المعيارية
1️⃣ الدرجة المعيارية عدد مجرد – بلا وحدات!
سواء كانت الدرجات أو الأوزان أو الأطوال – Z دائماً بلا وحدة
2️⃣ متوسط الدرجات المعيارية دائماً 0
\(\bar{Z} = 0\)
3️⃣ الانحراف المعياري للدرجات المعيارية دائماً 1
\(S_Z = 1\)
🔄 الصيغة العكسية – من الدرجة المعيارية إلى الخام
\(x = \bar{x} + Z \cdot S_x\)
✏️ مثال: توزيع بمتوسط 80 وانحراف 5. ما الدرجة الخام لطالب Z=1.5؟
\(x = 80 + 1.5 \times 5 = 87.5\)
🔧 التحويلات الخطية والدرجة المعيارية
التحويل الخطي لا يغيّر الدرجة المعيارية!
✏️ مثال: درجة أريك المعيارية في الكيمياء Z=6.
أضاف الأستاذ 10 نقاط لجميع الدرجات. ما الدرجة المعيارية الجديدة لأريك؟
درجة أريك المعيارية تبقى Z=6!
الإضافة أو الضرب بثابت على جميع القيم لا يغيّر Z
⚠️ متى تتغير الدرجة المعيارية؟
حين لا تُطبَّق العملية على جميع القيم بالتساوي (مثل: إضافة نقاط لمن أقل من 55 فقط)
📝 الملخص
\(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
الدرجة المعيارية = المسافة عن المتوسط بوحدات الانحراف المعياري
Z > 0 فوق المتوسط | Z=0 يساوي المتوسط | Z < 0 دون المتوسط