Loi normale
Problèmes inverses - de la probabilité au score brut
🔄 Le processus inverse
probabilité/pourcentage
score Z (Z)
score brut (x)
Étape 1 : ajuste le pourcentage à l'aire à gauche (si nécessaire)
Étape 2 : cherche le score Z correspondant dans la table Z
Étape 3 : calcule le score brut : \(x = \bar{x} + Z \cdot S\)
⭐ La formule inverse
\(x = \bar{x} + Z \cdot S\)
💡 Explication :
Score brut = moyenne + (combien d'écarts-types × taille de l'écart-type)
✏️ Exemple 1 : trouver la valeur à partir du pourcentage en dessous
Question : les notes d'un examen suivent une loi normale de moyenne 70 et d'écart-type 8.
Quelle est la note en dessous de laquelle se trouvent 90% des élèves ?
Étape 1 : 90% = 0,90 (c'est déjà l'aire à gauche)
Étape 2 : cherche 0,90 dans la table
Z ≈ 1.28
Étape 3 : calcule le score brut
\(x = 70 + 1.28 \cdot 8 = 70 + 10.24 = 80.24\)
Réponse : la note est environ 80,24
✏️ Exemple 2 : trouver la valeur à partir du pourcentage au-dessus
Question : les salaires dans une entreprise suivent une loi normale de moyenne $15 000 et d'écart-type $4 000.
10% des employés gagnent plus d'un certain salaire. Quel est ce salaire ?
Étape 1 : pourcentage complémentaire (car on donne "au-dessus")
100% - 10% = 90% = 0,90 (aire à gauche)
Étape 2 : cherche 0,90 dans la table
Z ≈ 1.28
Étape 3 : calcule le score brut
\(x = 15000 + 1.28 \cdot 4000 = 15000 + 5120 = 20120\)
Réponse : le salaire est environ $20 120
✏️ Exemple 3 : trouver un percentile
Question : la taille des hommes suit une loi normale de moyenne 175 cm et d'écart-type 7 cm.
Quel est le percentile 25 (la taille en dessous de laquelle se trouvent 25% des hommes) ?
Étape 1 : 25% = 0,25
Étape 2 : cherche 0,25 dans la table
Z ≈ -0.67
(négatif car en dessous de la moyenne !)
Étape 3 : calcule le score brut
\(x = 175 + (-0.67) \cdot 7 = 175 - 4.69 = 170.31\)
Réponse : le percentile 25 est environ 170,3 cm
🔍 Trouver la moyenne ou l'écart-type
💡 Parfois il manque la moyenne ou l'écart-type et il faut les calculer !
✏️ Exemple : les salaires suivent une loi normale de médiane $15 000.
84,4% des employés gagnent plus de $10 960. Quel est l'écart-type ?
Étape 1 : médiane = moyenne (dans une loi normale), donc \(\bar{x} = 15000\)
Étape 2 : 84,4% au-dessus de 10 960 → 15,6% en dessous
Cherche 0,156 dans la table → Z ≈ -1.01
Étape 3 : substitue dans la formule
\(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
\(-1.01 = \frac{10960 - 15000}{S}\)
\(-1.01 = \frac{-4040}{S}\)
\(S = \frac{-4040}{-1.01} = 4000\)
Réponse : l'écart-type est $4 000
📋 Table résumée - problèmes inverses
| Donné | À trouver | Méthode |
|---|---|---|
| Pourcentage en dessous | Score brut | Chercher Z dans la table, calculer x |
| Pourcentage au-dessus | Score brut | Calculer le complémentaire, chercher Z, calculer x |
| Score et pourcentage | Écart-type | Chercher Z, substituer dans la formule, isoler S |
| Score et pourcentage | Moyenne | Chercher Z, substituer dans la formule, isoler la moyenne |
📝 Résumé
\(x = \bar{x} + Z \cdot S\)
probabilité → Z de la table → score brut
attention au sens : "en dessous" ou "au-dessus"