التوزيع الطبيعي – المسائل العكسية | الصف 11

التوزيع الطبيعي

المسائل العكسية – من الاحتمال إلى الدرجة الخام

احتمال / نسبة

→

درجة معيارية (Z)

→

درجة خام (x)

الخطوة 1: حوّل النسبة إلى مساحة يسرى (عند الحاجة)

الخطوة 2: ابحث في جدول Z عن الدرجة المعيارية المناسبة

الخطوة 3: احسب الدرجة الخام: \(x = \bar{x} + Z \cdot S\)

\(x = \bar{x} + Z \cdot S\)

💡 التفسير:

الدرجة الخام = المتوسط + (عدد الانحرافات × حجم الانحراف المعياري)

السؤال: درجات اختبار تتوزع طبيعياً بمتوسط 70 وانحراف 8. ما الدرجة التي تحتها 90% من الطلاب؟

خ1: 90% = 0.90 (هي مساحة يسرى مباشرة)

خ2: ابحث عن 0.90 في الجدول → Z ≈ 1.28

خ3: \(x = 70 + 1.28 \times 8 = 70 + 10.24 = 80.24\)

الإجابة: الدرجة هي نحو 80.24

السؤال: الرواتب في شركة تتوزع طبيعياً بمتوسط 15000 وانحراف 4000. 10% من الموظفين يكسبون فوق راتب معين. ما هذا الراتب؟

خ1: مكمل (لأن المعطى "من فوقها"): 100%-10% = 90% = 0.90

خ2: 0.90 في الجدول → Z ≈ 1.28

خ3: \(x = 15000 + 1.28 \times 4000 = 20120\)

الإجابة: الراتب هو نحو 20,120

السؤال: طول الرجال يتوزع طبيعياً بمتوسط 175 سم وانحراف 7 سم. ما المئين 25 (الطول الذي دونه 25% من الرجال)؟

خ1: 25% = 0.25

خ2: 0.25 في الجدول → Z ≈ -0.67 (سالب لأنه دون المتوسط!)

خ3: \(x = 175 + (-0.67) \times 7 = 175 - 4.69 = 170.31\)

الإجابة: المئين 25 هو نحو 170.3 سم

💡 أحياناً يكون المتوسط أو الانحراف مجهولاً ويجب حسابه!

✏️ مثال: الرواتب تتوزع طبيعياً مع وسيط 15,000. 84.4% من الموظفين يكسبون أكثر من 10,960. ما الانحراف المعياري؟

خ1: الوسيط = المتوسط في التوزيع الطبيعي → \(\bar{x} = 15000\)

خ2: 84.4% فوق 10,960 → 15.6% دونها

0.156 في الجدول → Z ≈ -1.01

خ3: \(-1.01 = \frac{10960 - 15000}{S}\) → \(S = \frac{-4040}{-1.01} = 4000\)

الإجابة: الانحراف المعياري = 4,000

المعطى	المطلوب	طريقة الحل
نسبة من تحتها	درجة خام	أوجد Z من الجدول، احسب x
نسبة من فوقها	درجة خام	احسب المكمل، أوجد Z، احسب x
درجة ونسبة	انحراف معياري	أوجد Z، عوّض في الصيغة، حل لـ S
درجة ونسبة	متوسط	أوجد Z، عوّض في الصيغة، حل للمتوسط

\(x = \bar{x} + Z \cdot S\)

احتمال → Z من الجدول → درجة خام

انتبه للاتجاه: "من تحتها" أو "من فوقها"